通项公式及其求和方法归纳.doc

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1、通项公式及其求和方法归纳【递推公式求通项式】已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累加，变成，进而求解。例1.在数列中,类似题型练习：已知满足，求的通项公式。二、型数列，（其中不是常值函数)此

2、类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累乘，变成，进而求解。例2.已知数列中，求数列的通项公式。第9页(共9页)类似题型练习：在数列中,>0,,求.提示：依题意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用做差法直接构造，，，两式相减有，所以是公比为的等比数列。例3.在数列中，，当时，有，求的通项公式。类似题型练习：已知数列满足求数列的通项公式.四．型数列

3、（p为常数）第9页(共9页)此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.例4已知数列满足,求.例5．已知数列满足类似题型练习：（1）已知满足，求。（2）已知数列，表示其前项和，若满足，求数列的通项公式。提示：（2）中利用，把已知条件转化成递推式。五、型数列（为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例6．已知数列满足,求.类似题型练习：数列中，，求的通项。第9页(共9页)六.型数列（为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。例7．数列中，且，求.类似题型练习：已知数列满足，.令，证明：是等比数

4、列；(Ⅱ)求的通项公式。数列通项求法2七、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>0，第9页(共9页)例.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.答案：2、对无穷递推数列例已知数列满足，求的通项公式。八：形如分析：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例.设数列满足,求数列的通项公式..例已知数列满足，求数列的通项公式。。第9页(共9页)练习1：已知满足，求的通项

5、答案：练习2。已知数列满足，求数列的通项答案：数列求和一、利用常用求和公式求和等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：4、二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。[例3]求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设…②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴[例4]求数列前n项的和.第9页(共9页)练习：求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)x

6、n-1三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例5]求证：证明：设…………………………..①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴[例6]求的值[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：，…练习：求数列的前n项和。五

7、、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：[例9]求数列的前n项和.第9页(共9页)[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.练习例1：求下列数列的前项和：1．数列的前项和为，若，则3．求前n项和4、若函数求5.=_______________.6．已知数列的通项公式为,求前n项和。7．求和：第9页(共9页)8．已知，求前n项和。9．已知,求其前前n项和.10.设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（1）求数列