数列综合复习通项公式与前n项求和归纳

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1、数列综合复习——通项公式、前n项求和的求法归纳通项公式的求法：一、直接法如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得，d（或q），从而直接写出通项公式。例1.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)(D)。例2.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。∴二、累加（乘）法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列中，，，求通

2、项。例5.在数列中，，（），求通项。三、构造法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例6.在数列中，，，，求。解析：在两边减去，得∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得==…===练习：1、已知数的递推关系为，且求通项。四、公式法公式法即利用公式求数列通项公式的一种方法。例5.在数列中，+2+3+…+=，求。例6.解析：令=+2+3+…+=，则=+2+3+…+=，则－==－，∴=－=例9.设数列的前n项和=，求。例7.解析：由

3、=，得=，∴=－=－+（）∴=+，两边同乘以，得=+2，∴是首项为1公差为2的等差数列，∴=2+=，∴=五、倒数法数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出例14.．设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.∵∴练习：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。求数列前n项和的方法：1．基本公式法：等差、等比数列的前n项和公式、、2．错位相消法：给各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.一般适应于数列的前n向求和，其中成等差数列，成等比数列。3.裂项法：将数列的各项

4、均分拆成两项的差，而后和式子中的一些项相互抵消，以达到求和的目的。常见的裂项途径有：若是公差为d的等差数列，则【典型例题】1.分类求和法：利用转化思想，对某种数列可采用分拆，合并、重新组合的方法转化为等差，等比数列或常数列求和。[例1]求数列1+1，，，，……，的前项和。解：设通项为，前项和为，则∴（1）当时，（2）当时，2.裂项求和法如果一个数列的每一项都能拆成两项之差，在求和中，一般除首末两项或附近几项外，其余各项先后抵消，那么这个数列的前项较易求出，在解决分数数列求和问题时经常用到。[例2]求数列，，……，……的

5、前项和。解：3.倒序求和法[例3]，求。解：两式相加：∴4.错位相减法如果是等差数列，是等比数列，那么求的前项和，可用错位相减法。[例4]求的前项和。解：两式相减：∴练习：1.的通项，若，求。2.求解：∴3.求数列，，，……，……的前项和。解：两式相减：5.为等差数列，（1）求的通项（2）令（）求的前项和解：（1）∴∴（2）两式相减：当时，当时，高考真题练习：一、选择题（每小题5分）1.（2008江西卷5）在数列中，，，则()A．B．C．D．解析：A，，…，2.（2009辽宁卷）已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公

6、差d＝（A）－2（B）－（C）（D）2解析：a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1Þd＝－3.等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.190解析：设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝1004.（2009宁夏海南卷）等差数列的前n项和为，已知，,则（A）38（B）20（C）10（D）9解析＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。二、填空题（每小题5分）1.（2008四川卷16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值

7、为___________。解析：由题意，，即，，．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设，由解得，∴，由不等式的性质得：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，即，的最大值是4．2.（2009浙江）设等比数列

8、的公比，前项和为，则．解析：对于3.（2009北京）若数列满足：，则；前8项的和.（用数字作答）解析：，易知，∴应填255.4.(2009山东卷)在等差数列中,,则.解析：:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以.5.（2009全国卷Ⅱ）设等比数列{}的前n项和为。若，则=由得q3=3故a4=a1q3=3。三．解答题1.已知数列