2017数学建模A题二等奖论文.pdf

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1、CT系统参数标定及成像摘要目前，如何通过CT机的探测器已知的投影信息还原出物体几何形状以及内部结构，探测已知模块得到的数据推导CT机的参数以及校正，是研究精密仪器的重要方面。本文通过建立数学模型，给出了通过分析表格数据来解决上述所有问题的方法。对于问题一，以正方形左下角为原点建立平面直角坐标系对方向角进行几何抽象，通过介质上任意一点在转动过程中在光屏上的投影点的运动轨迹都是在旋转中心的投影点的上下波动这一几何特性，引入三角函数、直流分量和交流分量并与几何方法结合，建立了已知模板接收信息、吸收率、CT参数、余弦轨迹的傅里叶展开之间关系的综合模型。yna01a1coswnbsinwn

2、，ykktangx(batan)求解模型时，将附件的探测器接收数据和带入，利用光路方向角与椭圆中心和圆心之间的距离的几何关系求出180个方向角度，旋转中心坐标（50.2775,56.1050）,相邻探测器间距离为0.2775mm。对于问题二和问题三，本文根据中心切片定理，建立起投影物体的密度与其二维傅里叶变换后的函数的关系模型。在每一个确定角度下，分别使用直接反投影法和滤波反投影法fxy(,)

3、fR(cos,sin)

4、RGR()G()F(,)F[(,)

5、]fxy将变换后的函数作傅立叶逆变换就可以得到原物体的密度函数，并进行插值填充由MATLAB生成吸收

6、率矩阵。问题二的介质几何中心为（43.1641,47.4609），形状大致是椭圆形的嵌套（见图5-9）。问题二的10个点吸收率（附件4坐标点自上到下）分别为：0、0、2.0053、1.9714、1.9613、1.9644、0、0、0、0。图片见本文4.2.2模型求解部分。问题三的10个点吸收率（附件4坐标点自上到下）分别为：0、0、0.6479、0、0、4.7242、、0、10.5331、0、0。图片轮廓形状类似于组织细胞图，图片见本文4.2.3模型求解部分。对于问题四，问题1中的相邻探测器间距离参数，是影响成像精度的重要参数，距离越小精确度越高。旋转中心在托盘上的位置和探测器的个数，是影

7、响成像稳定性的重要参数，增加单位长度的探测器个数，并且调整旋转中心和探测器中心相对位置，使得探测器每转一个角度，接收到信息探测器尽可能在中部（避免下次转过一个角度时，介质的投影信息溢出光屏）。探测器绕旋转中心扫过的方向角度尽量稍微大于180°，使信息采集的更加完备，从而增加了CT工作的稳定性。关键词：余弦轨迹滤波反投影法中心切片定理,傅里叶变换傅里叶级数分析1一、问题重述1.1CT(ComputedTomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线

8、垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。1.2问题的提出1.在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸

9、收率”。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。2.利用(1)中得到的标定参数，确定附件3中的未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。3.附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。4.分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。

10、二、问题分析2.1问题一分析以正方形托盘左下角为坐标原点建立平面直角坐标系。讨论光线方向角和探测器与x轴夹角的关系，根据投影方向角、旋转中心的坐标、旋转中心到最近的探测器的标号之间的关系，建立光路方程。光路方程被模板的几何图形所截长度正比于所给的吸收率。经过旋转，圆心的运动轨迹随角度的变化是余弦图并且其直流分量k即为旋转中心所对应的探测器的编号，对其曲线拟合和傅2里叶级数分析求出k值。联立两次K探测器接收的光线的直线方程