2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文

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1、太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳

2、日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角

3、计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。将该模型在1stopt软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县

4、（32.9638°N,110.277°E）。对于问题四，我们首先将视频每隔2分钟截取图片，共取得20张截图，根据图像获取直杆顶点，直杆固定点，影子顶点的坐标，以及观测影长，由于需要引入角度才能由观测影长求得实际影长，因此对问题一中的太阳日照影长模型进行改进，初始旋转角，旋转角增量，进行参数拟合，与问题二类似。在观测影长已知的条件下得到一个拟合经纬度及旋转角度的非线性最小二乘模型。经过角度分析，得出角度范围是，再根据最优解值分析，筛除不符合要求的项，最后剩下第四组数据即地点为湖南省永州市宁远县（25.86216°N,111.9039°E）。如果拍摄日期未知，我们

5、可以在问题四的基础上，增加一个拍摄日期的拟合变量，即可解决问题。关键词：太阳日照影长模型由内到外计算法复合函数数学模型非线性最小二乘模型麦夸尔特算法通用全局最优化法1stopt软件30一、问题的重述在视频数据分析里有两个很重要的方面，一是确定该视频的拍摄地点，二是拍摄日期，太阳影子定位技术原理就在于分析物体在阳光照射下影子的变化，从而确定该视频拍摄的时间与地点。1.建立关于影子长度变化的数学模型，并画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场高度为3米的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.对于固定直杆的太阳影子顶点横纵坐标数据，使用相应的

6、数学模型确定直杆所处的地点位置。3.对于固定直杆的太阳影子顶点横纵坐标数据，使用相应的数学模型确定直杆所处的地点位置和日期。4．附件4的视频描述了一根直杆在太阳照射下的影子变化情况，并且已估计出此为高度2米的直杆。需建立相应的数学模型确定视频拍摄地点位置，并通过应用该模型给出若干个可能的拍摄地点。若未给出拍摄日期，你能否根据视频内容确定拍摄地点与日期？二、模型的假设1．假设太阳射向地球的光线为平行光线。2．假设地球为均匀球体，且球面平整。3．假设忽略光传播过程中所需要的时间。4．假设忽略大气折射对光线传播路径的影响。5．假设在此过程中，忽略地球公转对影子长度、

7、角度计算产生的影响。6．假设摄像机拍摄角度与地面平行。三、符号及说明符号名称影长杆长太阳高度角地理纬度太阳时角太阳赤纬角从1月1日到测量日的天数测量的时间30年份一、模型的准备从图1中，我们可以形象地看出，赤道面与日地中心连线的夹角每天都在变化，这个角度就是所说的太阳赤纬角。正如我们所知，在地球自转过程中也在围绕太阳公转，而极轴与黄道面的夹角始终保持不变。正是因为以上原因，才造成每天正午时刻，太阳高度角有所差异。图1太阳赤纬角模型太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，它是由地理纬度，赤纬角与时角综合决定的。图2太阳高度角和时角模型而日面中心的时角，

8、是从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所