4-1 不定积分概念

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1、课时授课计划副页年月日教学过程及授课内容附注4-1不定积分的概念教学过程一、不定积分的概念1．原函数的概念定义1设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得或,则称为的一个原函数．例因为，故是的一个原函数；因为，所以是的一个原函数，但，所以的原函数不是惟一的．原函数说明：第一，原函数的存在问题：如果在某区间连续，那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论：定理：若是

2、的一个原函数，则是的全部原函数，其中为任意常数。证由于，又，所以函数族中的每一个都是的原函数。另一方面,设是的任一个原函数，即，则可证与之间只相差一个常数，事实上，因为第5页所以，或者，这就是说的任一个原函数均可表示成的形式。这样就证明了的全体原函数刚好组成函数族。2.不定积分的概念定义2：函数的全体原函数叫做的不定积分，定积分，记为，其中,上式中的叫做积分变量，叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分常数，“”叫做积分号。例1求下列不定积分：（1）；（2）；（3）．解（1）因为，所以.（2）因为，所以.

3、（3）因为时，，又时，，所以例2设曲线过点（1，2）且斜率为，求曲线方程．解设所求曲线方程为．按，故．又因为曲线过点（1，2），故代入上式第5页，得，于是所求方程为.例3设某物体运动速度为，且当时，，求运动规律．解按题意有，即，再将条件时代入得，故所求运动规律为积分运算与微分运算之间的互逆关系：（1）或（2）或二、基本积分公式由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式：(1)(为常数)，(2)（），(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)第5页（9)，(10)，(11

4、)，(12)，(13).三、不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可提到积分（）.性质2两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即.例4求下列不定积分：（1）(2)；(3)．解（１）.（２）.（３）．例5求下列不定积分:第5页（１）；（２）．解（1）（２）例6求下列不定积分：(1)；(2)．解(1)=(2)例7设求．解由于，所以，故知是的原函数，得.四、小结1.不定积分的概念和基本积分公式2.不定积分的性质第5页