弹塑性力学第四章

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1、§4.1广义胡克定律§4.2弹性应变能函数§4.3屈服函数与应力空间§4.4德鲁克公设与伊留申公设§4.5常用的屈服条件§4.6增量理论§4.7全量理论§4.8塑性势的概念第4章本构关系应力理论应变理论几何方程（应变分量与位移的关系）变形协调方程平衡微分方程（应力分量与体力的关系）边界条件本构关系（应力分量与应变分量的关系）广义胡克定律大量实验表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力和应变之间存在着线性关系：材料的变形属性与坐标无关。三维：应力和应变关系的一般表达式为：对于小变形问题，上述表达式展开成泰勒级数，并且略去二阶以上的高阶小量。初始应力广义胡克定律一、广义胡克定律根据无初始

2、应力的假设，（f1)0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数f1对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。广义胡克定律称为弹性系数，一共有36个。广义胡克定律的张量表示：如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn是坐标x，y，z的函数。如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。因此cmn为弹性常数，与坐标无关。各向同性材料，独立的弹性常数只有两

3、个。广义胡克定律证明：弹性状态下，各向同性弹性体，应力主轴与应变主轴重合。证明：令x、y、z为主应变方向，则剪应变分量为零。引入新坐标，则新、旧坐标间的关系为：在新坐标，弹性常数不变，则广义胡克定律由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：由(c)式代入(b)式,可得出：比较(a),(b)可得：，所以，必定有同理可得：因此，对于各向同性弹性体，主应变方向必为主应力方向。广义胡克定律证明：各向同性均匀弹性体的弹性常数只有两个。证明：令坐标轴与主应力方向一致，则主应力与主应变间的关系为：对的影响应与对及对的影响相同，即同理，对的影响应相同，即因而有：对于应变主轴，弹性常数只有两个。广义胡克定

4、律具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的独立常数有13个。弹性对称面：如果物体内存在这样一个平面，和该平面对称的两个方向都具有相同的弹性，则该面称为物体的弹性对称面。弹性主方向：垂直于弹性对称面的方向各向异性弹性体独立的常数有21个。系数矩阵对称具有三个弹性对称面的各向异性弹性体（正交各向异性）的独立常数有9个。广义胡克定律证明：正交各向异性弹性体的独立常数有9个。证明：取弹性主轴为三个坐标轴，将z轴旋转180度(2-20)广义胡克定律根据正交各向异性弹性体的性质可知：代入广义胡克定律对比以上两式可得：同理可得：广义胡克定律将x轴旋转180度，采用和前面相同的方法，可得：将y轴旋转180度

5、，可得：与前一步骤相同如果三个相互垂直的平面中有两个是弹性对称面，则第三个平面必然也是弹性对称面。对称广义胡克定律广义胡克定律二、各向同性弹性体广义胡克定律的几种形式令坐标轴与主应力方向一致，则令,则1.弹性拉梅弹性常数表示的广义胡克定律坐标变换称为拉梅弹性常数。右图所示应力状态时，由材料力学可知：比较以上式子可知：分别为杨氏弹性模量和泊松比。广义胡克定律2.用弹性模量和泊松比表示的广义胡克定律将（4-3）式中的应变解出来，可得（4-5）（4-6，4-7）代入广义胡克定律，得式中，为各向同性物体的剪切弹性模量。张量记法：广义胡克定律表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。3.用

6、应力偏量和应变偏量表示的广义胡克定律对比等式两边，可得：广义胡克定律广义胡克定义可写为物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力引起的相对体积改变；一部分是应力偏量引起的物体几何形状的变化。表示变形前后单位体积的相对体积变形，称为相对体积变形。或K称为弹性体积膨胀系数或体积模量。广义胡克定律对不可压缩材料，e=0.平面应变状态下，，广义胡克定义可写为：平面应力状态下，，广义胡克定义可写为：广义胡克定律4.平面应力状态下的广义胡克定律平面应力平面应变广义胡克定律广义胡克定律的张量表示：各向同性弹性体的广义胡克定律：广义胡克定律拉梅系数：弹性模量：偏量表示：平面状态：三、各向异性弹性材

7、料的本构关系(应变表示应力）：共有9个弹性常数。用应力表示应变的本构关系：张量记法：其中，广义胡克定律弹性应变能函数为单位体积的应变能1.单向应力状态：y方向虽然有变形，但没有外力，因此，外力所作的总功为：在不计动能和其他能量的消耗时，应力在AD和BC边上所作的功为：式中，一、单位体积的应变能弹性应变能函数2.三向应力状态：由广义胡克定律可知：称为应变能函数，因此，弹性变形能又称为弹性势。弹性应变能函数右侧两式成立:应变能对任一应变