4 内力与内力图

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1、内力·内力图一内力的概念二截面法三内力符号规定四内力图五弯矩、剪力与载荷集度间的关系一内力的概念内力是构件内部各质点间的相互作用力。材料力学中所说的内力，确切的说是指由于受到外力作用而引起的内力的变化，即“附加内力”。所以，若构件不受外力作用，内力即为零。材料力学中经常计算的是横截面上的内力，它实际上是截面上分布内力的合力。内力计算是强度和刚度计算的基础。二截面法杆件某一截面上的内力其实也可理解为该截面两侧的两部分杆件之间的相互作用力，因此，可假想地沿截面将杆件截开，由截面左侧或右侧一段杆的平衡条件求得该截面上的

2、内力。基本步骤可概括为十二个字：“一截为二，弃一留一，平衡求力”。三内力符号的规定内力的符号是为了表示杆件变形的不同方向，所以是按照变形的方向规定的。另外，在这个规定的前提下，无论将杆件截开后取左侧还是右侧一段计算内力，其符号是相同的。1.拉伸与压缩：轴力离开截面为正，反之为负。如图1所示。2.扭转：按右手螺旋法则判定。如图2所示。3.弯曲：（1）剪力：使一段梁发生左上右下的错动为正，反之为负。如图3所示。（2）弯矩：使一段梁发生上凹下凸的变形时为正，反之为负。如图3所示。轴力的符号轴力的符号：图1a所示轴力离开

3、截面，即杆件为拉伸变形，轴力为正；图1b所示轴力指向截面，即杆件为压缩变形，轴力为负。图1a所示轴力离开截面，即杆件为拉伸变形，轴力为正；图1b所示轴力指向截面，即杆件为压缩变形，轴力为负。扭矩的符号图2a中，大拇指离开截面，扭矩为正；图2b中，大拇指指向截面，扭矩为负。（a）（b）图2剪力与弯矩的符号（a）（b）（c）（d）图3图3-a中剪力使梁发生左上右下的错动，为正值；图3-b中剪力为负值；图3-c中弯矩使梁发生上凹下凸的弯曲变形，弯矩为正值；图3-d中弯矩为负值。四内力图内力图是指杆件横截面上的内力（轴力

4、、扭矩、剪力及弯矩）随截面位置变化情况的图线，根据内力图可以很方便地确定出危险截面的位置。通过截面法求得各截面上的内力，即可画出杆件的内力图。画内力图时，以平行于杆件轴线的坐标轴表示截面位置，纵坐标轴表示内力。例题：例1例2例3例4例1杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。解：（1）用截面法求内力。沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有FN1+10=0所以FN1=-10（kN）沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有FN2-40+10=0所以FN2=40-10=30（kN）沿截面3-3截开，由右侧一段的

5、平衡，有-FN3+20=0所以FN3=20（kN）（2）根据计算结果作出轴力图。（3）讨论：由以上计算过程可以看出，将平衡方程中的外力都移至等号右端，则有FN=ΣFie也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧（或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴力图。例2传动轴如图a所示。主动轮A输入功率PA=40kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=20kW、PC=PD=10kW，轴的转速n=200r/min。（1）绘制该轴的扭矩图；（2）绘制轮A和轮B调换后（图c）轴的扭矩图；（3）说明

6、轮子的两种布局方案中哪个更合理。解：（1）计算外力偶矩。根据公式可求得各轮上的外力偶矩分别为MeA=1910（N·m）MeB=955（N·m）MeC=MeD=477（N·m）（2）由截面法计算各段轴上的扭矩MxAB=-MeA=-1910（N·m）MxBC=-MeA+MeB=-1910+955=-955（N·m）MxCD=-MeD=-477（N·m）（3）根据各段扭矩画出扭矩图。（4）A、B两轮调换后，扭矩图如图d所示。显然，后一种布局方案较合理。例3悬臂梁受均布载荷作用，载荷集度为q，试建立其剪力方程与弯矩方程，

7、并画出剪力图和弯矩图。解：（1）将坐标原点取在梁的左端，建立剪力方程和弯矩方程。（2）根据剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图所示。五弯矩、剪力与载荷集度间的关系在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得将剪力方程对x求一阶导数，得也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根据这一规律，还

8、可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯矩图成为水平直线。若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛