2017届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

《2017届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，B={n∈N|﹣1≤n＜3}，则（∁ZA）∩B=（　　）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，则||=（　　）A．3B．C．D．53．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（　　）A．x=0B．x=C．x=﹣D．x=4．已知等比数列{an}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（　　）A．数列{an}的各项均为正数B．数列{an}中必有小于的项C．数列{an}的公比必是正数D．数列{an}中的首项和公比中必有一个大于15．若=，则tan2α的值为（　　）A．B．C．﹣D．36．函数y=ln的图象大致是（　　）A．B．C．D．7．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则•（+）的最小值是（　　）A．﹣2B．﹣1C．1D．28．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）且在[5，6]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）9．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（　　）第16页（共16页） A．11πB．C．D．10．已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）A．（1，3）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）11．已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（　　）A．2252﹣2B．2253﹣2C．21008﹣2D．22016﹣212．设点P，Q分别是曲线y=xe﹣x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为（　　）A．B．C．D．　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=　　．14．已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{an}满足a1=3，an+1=f（an），则a2016=　　．x123f（x）32115．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为　　．16．设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n⊂α，n∥β，α∩β=m，则n∥m；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中正确的命题序号为　　．　三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（1）求角B的大小；第16页（共16页） （2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）如果a1≠a5，求数列{}的前n项和．19．已知函数f（x）=x3﹣（a+1）x2+x﹣（a∈R）．（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；（2）当a≤时，判断函数f（x）在区间[0，2]上零点的个数．20．已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（1）若x∈（，），•+=﹣，求cos4x；（2）设△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程•+=m有且仅有一个实数根，求m的值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．　第16页（共16页） 2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，B={n∈N|﹣1≤n＜3}，则（∁ZA）∩B=（　　）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}【考点】补集及其运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行计算即可．【解答】解：∵集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，全集为Z，∴∁ZA={m∈Z|﹣3＜m＜2}={﹣2，﹣1，0，1}，又∵B={n∈N|﹣1≤n＜3}={0，1，2}，则（∁ZA）∩B={0，1}．故选：C．　2．在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，则||=（　　）A．3B．C．D．5【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数对应点的坐标，求解距离即可．【解答】解：在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，可得A（﹣1，2），B（1，3），则||==．故选：C．　3．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（　　）A．x=0B．x=C．x=﹣D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，可得y=sin（2x﹣）=﹣cos2x的图象，再令2x=kπ，求得x=，k∈Z，函数所得函数图象的一条对称轴为x=0，故选：A．　第16页（共16页） 4．已知等比数列{an}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（　　）A．数列{an}的各项均为正数B．数列{an}中必有小于的项C．数列{an}的公比必是正数D．数列{an}中的首项和公比中必有一个大于1【考点】命题的真假判断与应用；等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可知，故q必是正数，故选项C为真命题；由可知a5可以为负数，故A为假命题；对于选项B，由于a5a6=2可以前10项全为，故B为假命题；对于选项D，由可得，可取q=1、均不大于1，故D为假命题．【解答】解：由等比数列的性质，a1a2a3…a10==32．∴a5a6=2，设公比为q，则，故q必是正数，故选项C为真命题．对于选项A，由可知a5可以为负数，故A为假命题；对于选项B，由a5a6=2可以前10项全为，故B为假命题；对于选项D，由可得，可取q=1、均不大于1，故D为假命题．故选C．　5．若=，则tan2α的值为（　　）A．B．C．﹣D．3【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切．【分析】由条件求得tanα=3，再根据tan2α=，计算求得结果．【解答】解：∵==，∴tanα=3，则tan2α===﹣，故选：D．　6．函数y=ln的图象大致是（　　）第16页（共16页） A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（﹣x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x∈（0，1）时，ln＜0，从而排除C，从而得到答案．【解答】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．　7．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则•（+）的最小值是（　　）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出草图分析，由于在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，可得，则•（+）=•2，而||=||+||=2≥2，利用均值不等式即可求得•（+）的最小值．【解答】解：由题意画出草图：由于点M为△ABC中边BC的中点，∴，∴•（+）==﹣2||•||．∵O为中线AM上的一个动点，即A、O、M三点共线，第16页（共16页） ∴||=||+||=2≥2（当且仅当“”时取等号），得||•||≤1，又•2=﹣2||•||≥﹣2，则•（+）的最小值为﹣2．故选：A．　8．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）且在[5，6]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据已知条件能够得到f（x）是周期为2的周期函数，且在[0，1]上单调递减，再根据α，β为锐角三角形的两个锐角即可得到1＞sin＞cosβ＞0，从而根据f（x）在[0，1]上的单调性即可得出f（sinα）＜f（cosβ）．【解答】解：由f（x+1）=﹣f（x）得，f（x+2）=f（x）；∴f（x）是以2为周期的周期函数；∵f（x）是R上的偶函数，且在[5，6]上是增函数；∴f（x）在[﹣6，﹣5]上为减函数；∴f（x）在[0，1]上为减函数；∵α，β是锐角三角形的两个锐角；∴α+β＞；∴α＞﹣β，α，﹣β∈（0，）∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ且sinα，cosβ∈（0，1）；∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选：C．　9．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（　　）A．11πB．C．D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．第16页（共16页） 则有该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．　10．已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）A．（1，3）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】结合方程f（x）=a有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f（x）的图象即可获得解答．【解答】解：由题意可知：函数f（x）的图象如下：由关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数解，可知函数y=a与函数y=f（x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）．故选D　11．已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（　　）A．2252﹣2B．2253﹣2C．21008﹣2D．22016﹣2【考点】等比数列的前n项和．【分析】由Sn为等比数列{an}的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后再来解答问题．【解答】解：∵数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①第16页（共16页） =14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．　12．设点P，Q分别是曲线y=xe﹣x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为（　　）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对曲线y=xe﹣x进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线y=x+2平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【解答】解：∵点P是曲线y=xe﹣x上的任意一点，和直线y=x+3上的动点Q，求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y=xe﹣x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离．由y′=（1﹣x）e﹣x，令y′=（1﹣x）e﹣x=1，解得x=0，当x=0，y=0时，点P（0，0），P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y=x+3的距离，∴dmin==．故选C．　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=　4　．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据题意，画出图形，利用•=0，列出方程，求出k的值．【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），第16页（共16页） ∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案为：4．　14．已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{an}满足a1=3，an+1=f（an），则a2016=　1　．x123f（x）321【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可知，a1=3，分别求得a2，a3，a4，求得an=，即可a2016．【解答】解：an+1=f（an），a1=3．∴a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1，…∴an=，∴a2016=1．故答案为：1．　15．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为　　．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以：V==故答案为：第16页（共16页） 　16．设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n⊂α，n∥β，α∩β=m，则n∥m；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中正确的命题序号为　①③　．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由线面平行的性质定理可知该命题正确；②由面面平行的判断定理可知该命题错误，缺少一个重要条件，m和n是两条相交直线；③由面面垂直的性质定理可知该命题正确；④n可能在平面β内．【解答】解：对于①，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故①正确；对于②，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相平行，在这个定理中“两条相交直线”这个条件必不可少．没有这个条件，两平面就不一定平行，也可以相交，故②不正确；对于③，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故③正确；对于④，n可能在平面β内，故④不正确．故答案为：①③．　三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），通过两角和与差的三角函数求出cosB，即可得到结果．（2）利用三角形的面积求出ac=4，通过由余弦定理求解即可．【解答】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），…所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB…所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣…∴B=…（2）由=得ac=4…．由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16…∴a+c=2…　18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）如果a1≠a5，求数列{}的前n项和．第16页（共16页） 【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（1）根据等差数列的定义，设出公差d，利用S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列．建立关系式，求解公差d和a1，即可得数列{an}的通项公式；（2）求出等差数列Sn；数列{}的通项公式；裂项相消法求解前n项和．【解答】解：（1）由题意：数列{an}是等差数列，设公差d，首项为a1，S5=4a3+6，则：S5=4a3+6=5a1+，∴a1+2d=6…①又∵a2，a3，a9成等比数列∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+8d）∴da1=d2…②由①，②可得：a1=2，d=2或a1=6，d=0．故得数列{an}的通项公式为an=2n或an=6．（2）∵a1≠a5∴an=2nSn=na1+=n2+n；则：数列{}的通项公式：=；数列{}的前n项和为：===；故得数列{}的前n项和为．　19．已知函数f（x）=x3﹣（a+1）x2+x﹣（a∈R）．（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；（2）当a≤时，判断函数f（x）在区间[0，2]上零点的个数．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出在[0，2]上的零点个数即可．【解答】解：（1）f′（x）=a（x﹣1）（x﹣），∵a＜0，∴＜1，令f′（x）＞0，解得：＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜，第16页（共16页） ∴f（x）在（﹣∞，）递减，在（，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）极小值=f（）=，f（x）极大值=f（1）=﹣（a﹣1）；（2）f（1）=﹣（a﹣1），f（2）=（2a﹣1），f（0）=﹣＜0，a≤时，f（x）在[0，1]递增，在[1，2]递减，故f（0）=﹣＜0，f（1）=﹣（a﹣1）＞0，f（2）=（2a﹣1）≤0，∴f（x）在[0，1]，（1，2]上各有1个零点，即在[0，2]上2个零点．　20．已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（1）若x∈（，），•+=﹣，求cos4x；（2）设△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程•+=m有且仅有一个实数根，求m的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简，得到，结合同角三角函数的关系算出，再进行配角，利用两角和的余弦公式即可算出cos4x的大小．（II）根据余弦定理与基本不等式算出，从而可得，即函数y==的定义域为．再利用正弦函数的图象研究y=的单调性，可得当或时，有唯一的x与y=对应，由此即可得到满足条件的实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴==又∵，∴；第16页（共16页） 由于，可得，∴，由此可得：==；（Ⅱ）∵b2=ac，∴由余弦定理可得：，∵B是三角形的内角，∴，即由（I）可得=，∵由，可得，∴，当x∈（0，]时，y=为单调增函数；当x∈（，]时，y=为单调减函数．当时，y==1；当时，y==﹣，此时只有一个x与y=对应，即直线y=m和有一个公共点．∴若关于x的方程有且仅有一个实数根，实数m的值为1或﹣．　21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．第16页（共16页） 【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；（II）过P作PO⊥AD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD，从而PO为四棱锥P﹣ABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABD中，由于AD=4，BD=8，，所以AD2+BD2=AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P﹣ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为．故．　22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率k，结合已知可求a第16页（共16页） （II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数f′（x）的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当0＜a＜2时，（3）当a=2时，（4）当a＞2时四种情况分别求解．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，可知，函数定义域为{x|x＞0}，且f′（x）=2x﹣（a+2）+．由题意，f′（2）=4﹣（a+2）+=1，解得a=2．（Ⅱ）f′（x）=2x﹣（a+2）+=（x＞0）．令f′（x）=0，得x1=1，x2=．（1）当a≤0时，≤0，令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1．则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．（2）当0＜＜1，即0＜a＜2时，令f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞1．则函数f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）．令f′（x）＜0，得＜x＜1．则函数f（x）的单调递减区间为（，1）．（3）当=1，即a=2时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．（4）当＞1，即a＞2时，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞，则函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+∞）．令f′（x）＜0，得1＜x＜．则函数f（x）的单调递减区间为（1，）．　第16页（共16页）