高二数学利用向量解立体几何

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1、借助向量解立体几何问题知识要点（其中为向量的夹角）。一、求点到平面的距离定义：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即过这个点到平面垂线段的长度。一般方法：利用定义先做出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。PBA向量法：PA如图，已知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面一个法向量。，其中，例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz练习:SBCDAxyz

2、2.直线到它平行平面的距离定义：直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。由定义可知，求直线到它平行平面的距离的问题可由点到平面距离的知识来解决。3.两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求两平行平面的距离，只要求一个平面上一点到另一个平面的距离，也就是

3、求点到平面的距离。二、求异面直线的距离求异面直线距离的常用方法：（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。（2）转化为求线面间的距离。baαa//平面α（3）转化为求平行平面间的距离。abαβ（2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。a//平面β,b//平面α（4）用模型公式（5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长nabEF例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。ABDCA1B1C1D1x

4、yz练习:如图,ASCDBxyz练习：正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为AB中点，Q为BC中点，AA1=a,O为正方形ABCD的中心，求PQ与C1O间的距离。ABCDA1B1C1D1OPQ三、用向量法求二面角的大小如图，二面角α-l-β，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α-l-β为或。ll例2.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90º，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。求面SCD与面SAB所成二面角的正切值。SCADBxyz例3.四棱锥P-AB

5、CD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD。求证：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90º。CPDABxyz已知三棱柱ABC-A1B1C1在某个空间直角坐标系中，，，（1）求异面直线A1B和C1D所成的角的大小。（2）求二面角D-AC1-C的大小。练习：；http://www.fengyunji.cn/团建公司军事拓展户外拓展训练ory19msq成的吃食，临时对付对付总归不是坏事儿呢！”看小青准备给小东伢穿外套，围巾帽子的放在一边，乔氏说：“外面风大，不要让娃儿出

6、来送了，就在屋子里和舅爷姨姨道个别吧！”东伢子也说：“就是，不要带他出去了，就在屋子里道个别吧！”耿正过来抱起小东伢，在他胖乎乎的脸蛋上认真地亲了一下，亲切地说：“小东伢，做个好伢子，快快长大啊！”小东伢紧紧地搂住耿正的脖子，在他脸颊上回亲一口，甜甜地说：“大舅爷，小东伢不想让你、二舅爷和姨姨走！”耿正眼睛有些潮湿，将小东伢递给站在旁边的耿英，双手按在小青的肩上，真诚地说：“我们三个有多么好的姐夫和外甥子啊！姐姐你好福气！祝你们美满幸福，儿孙满堂！”小青的眼泪一直在眼眶里打转转儿，但始终没有流出

7、来。此刻，见耿正专门过来和她道别了，就含着眼泪努力地笑了笑，轻轻地说：“正兄弟，替我向秀儿妹妹带个好！也祝你们美满幸福！”耿正点点头说：“唔，一定带到！还有，秀儿肯定非常喜欢姐姐绣的大槐树，我们会一辈子将她挂在屋子正面的墙上！”小青没有再说话，只是轻轻地点了点头。耿正拿开双手，转身对东伢子说：“姐夫，我们套车去！”车套好了。耿直提起软皮箱，耿英搀扶着乔氏走出西屋。耿正和东伢子将大骡车顺顺当当地赶出院门，停在路边上。耿英扶着乔氏快到院门了，回头望望，小青拉着小东伢还站在过厅口上。耿英摆摆手说：“姐

8、，外面风大，快带小东伢进屋里去吧！”耿直也招招手说：“姐，小东伢，再见！”小东伢带着哭声喊：“二舅爷，姨姨，再见！”耿英先招招手说：“小东伢，再见！”再摆摆手喊：“姐，外面风大，你快带小东伢进屋里去吧！”出了院门儿，呼呼的西北风刮得更凶了。寒冷的街面上连一个行人也没有。乔氏说：“这天儿可真够冷的，你们都多带衣服了吗？要不，你们姐夫回去拿几件吧，你们凑乎着穿穿！”耿英说：“不碍事，我们都带着厚外套呢，需要的时候就穿了！”乔氏又说：“你们不是说都穿了孝服吗？快把这篷布揭了，你们拿出孝服来都套上吧，多