初始奇异ricci流奇性分析

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1、摘要本篇博士论文系统地研究了Ricci流在t=0时的奇性问题．确切地说，是研究在t＼0时，曲率趋于无穷大的Ricci流的奇性结构．在Ricci流具有非负曲率算子的假设条件下，我们给出了初始奇异的n维Ricci流奇性结构的一个完整刻画．全文共有六节，其核心是为了证明下面的主要定理：设(Mn，％(亡))是定义在(o，刁上非规范化(unnormalized)的Pieei流的解：a．一不％=一2％Ub如果它具有正的曲率算子，那么我们可以选择适当的点列(甄，ti)，使得当彘一0时，(厨n，氨(￡)，筑)趋向于一个具有有界曲率的完备immortalRicci流(蛾，蚕∞(

2、亡)，zo。)．此时的奇性模型(魂，融(亡)，z∞)是扩张的Ricci梯度孤立子．我们工作的困难主要在于需要给出内射半径的一致估计，这等价于要证明Ricci流在奇异时刻t=0是非坍塌的．受Perelman工作的启发，我们给出了两种证明方法．第一种是利用扩张熵W+的一致有晁性以及扩张熵W+沿Ricci流的单调性，我们能够证明：定义在(o，邪上奇性为typeIV的紧致无边流形上的Ricci流，如果其数量曲率非负，那么g(t)在t=0时是非坍塌的．第二种方法是利用基于奇异时间t=0的向前约化体积沿着Ricci流的单调性．我们要处理的是Ricci流在t=0时的奇性问题

3、．由于没有现成的工具可用，因此，我们在本文中用了较大的篇幅制造所需要的工具．首先，与Perelman在【17]§6中的工作平行，我们也构造了一个可以将【6，卅上的Ricci流嵌入其中的更大的时空流形(廊+，蚕)．我们在(庸+，雪)上引入￡墓．长度的概念．它与MichaelFeldman，TomIlmanell，LeiNi的文章[10】中￡+-长度类似．与他们的做法相同，通过对哎；做第一变分，自然得到c0．测地线和向前约化距离2：^(forwardreduceddistance)的概念．仿照Perelman【17】§7中的工作，我们先计算出关于向前约化距离z纛的

4、一阶导数估计，然后再对c嘉-测地线的长度L基做二阶变分，进而得到向前约化距离f0的拉普拉斯(Laplacian)估计．从而能够证明与2墓对应的向前约化体积沿着Ricci流是单调递减的．然后我们仿照JoergEnders在【9】9中的做法，将向前约化距离20延拓到基于奇异时间t=0的向前约化距离2麦o，由于f知基本上沿袭了：嘉的一阶导数和拉普拉斯的估计，因此，可以得到基于奇异时间t=0的向前约化体积沿着Ricci流的单调性．利用前面的工具，我们在比第一种证明方法更强的假设条件下，即在紧致无边流形上奇性为typeB的Ricci流具有非负曲率算子的假设下，给出了Ri

5、cci流g(t)在奇异时间t=0是非坍塌的第二种证明方法．最后一节中，我们运用微分的Harnack不等式可以证明：定义在(0，卵上具有非负曲率算子的佗维Ricci流的奇性是typelV．然后通过选取适当的点列逼近奇性．由于我们已经证明了具有非负曲率算子的Ricci流在奇异时刻t=0时是非坍塌的，这就保证了做伸缩变换后这一族Ricci流存在收敛的子序列，其极限为扩张的Ricci孤立子．从而完整地证明了我们的主要定理．我们的目标是研究Ricci流在奇异时刻t=0时的渐近行为．然而目前我们只能处理(0，邪上的具有非负曲率算子的n维Ricci流在奇异时刻t=0的奇性结

6、构．原因在于：一、我们需要运用微分的Hamack不等式得到(0，卅上的n维Ricci流奇性是typeIV，而微分的Harnack不等式要求曲率算子是非负的；二、我们在证明Ricci流在奇异时刻t=0是非坍塌时，也对曲率有某种正性要求．这也反映出我们目前的工作有一定的局限性．。关键词：Ricci流，初始奇异，扩张熵，基于奇异时间t=0的向前约化距离，扩张的Ricci梯度孤立子．AbstractInOUTpaper,oneofthetopicsofstudyistheinitialblow-upproblemof11-dimensionalsolutionsoft

7、heRicciflowwithnon．negativecurvatureoperator,i．e．，thesolutionoftheRicciflowblowsupattimet=0inthesensematthecurvaturetendstoinfinityast＼0。MainTheorem：Let(Mn，夕(亡))beacompletesolutiontotheunnormalizedRicciflowwhichdefined(0，卅withnonnegafivecurvatureoperator．Thenwecanfindsequence(她，t{)a

8、ndti_0，thesequence(