奇异谱分析的广义性及其应用特色

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1、第56卷第6期气象学报Vol.56No.61998年12月ACTAMETEOROLOGICASINICADec.,1998
奇异谱分析的广义性及其应用特色江志红丁裕国(南京气象学院,南京,210044)摘要本文从理论上证明,奇异谱分析(SSA)是一种广义功率谱分析。其广义性及应用特色是:(1)它具有稳定的识别和强化信号功能,在识别优势周期信号及强化显示方面,功能超过最大熵谱分析(MESA);(2)其识别和描述信号的方式是时域性的频域特征分析,即时频域相结合,有益于天气气候诊断和预测;(3)它并不受正弦波假定的约束,对于各种非正弦波信号同样有稳定的识别功能。

2、文中实例也验证了理论证明。关键词:奇异谱分析,气候诊断,最大熵谱分析,功率谱分析。1引言[1]由Vautard和Ghil引入的奇异谱分析(SSA)是近年来活跃于气候诊断领域的新技术方法之一。SSA不但适用于天气气候时间序列及其时空场的大尺度振荡研究,而且具有理论价值和普适性。由于它能有效地识别蕴含于非线性动力系统中的弱信号,因而除了对大气环流低频振荡研究有应用意义外,还对研究动力学相空间重构、时序演化信息中的[2,3]吸引子维数等非线性动力学理论有重要价值。本文旨在研究SSA方法识别周期振荡信号的广义功能和优越性,从理论上证明,它是一种适应面广,物理意义清

3、晰,增强信号识别的广义功率谱分析方法。2强化信号的广义功率谱奇异谱分析的运算过程实际上等价于对时间序列{xt},t=1,⋯,NT的时滞排列矩阵x1x2⋯xNx2x3⋯xN+1XT=(1)xmxm+1⋯xNT作所谓时迟经验正交函数展开(记为TEOFs),又称时间经验正交函数展开。根据SVD理
初稿时间:1997年3月7日;修改稿时间:1997年12月26日。资助课题:国家九五攻关项目96-908-01-01课题。6期江志红等:奇异谱分析的广义性及其应用特色737[4～6]论,可以证明,对XT的SVD就是对式(1)的矩阵作TEOFs,其中XT的全体奇异值或其平

4、方值
1≥
2≥⋯≥
s≥0(2)或
1≥
2≥⋯≥
s≥0(3)即为序列{xt}的奇异谱。分析上述运算结果可以提供丰富的时域和频域结构信息。由式(1)获得如下分解式,即对时间序列x′′′
t,取
=1,⋯,m,t=1,⋯,N,N

5、个TPC即fk(t)。由此可见,SSA实质上是将序列{xt}中隐含的波型信号从噪声系统中过滤出来。其明显的物理意义是:对于给定的m窗口长度(又称嵌套维数),其行向量蕴含的波型信号波集中于各个TEOF中,而与其有最大相关(协方差)的这些波型信号的变动特征又被提取到相应的TPC中。由于TEOF的正交性,可证明SSA方法就是一种强化频率信号的广义功率谱分析方法。设序列{xt}中隐含谐振分量mi
ktxt=∑Cke+
t(6)k=-m其中,
t为零均值白噪声序列,Ck为第k个谐振分量的振幅。对该序列作SSA,可得式(4)和(5),在式(6)假定下,其TEOF各量可

6、写为i
h
lh
=lh(
)=Gheh=1,⋯,m
=1,⋯,m(7)这里Gh为第h个TEOF所描述的正弦波振幅。根据式(5),考虑式(6)的假定,对式(1)的XT矩阵,就有m′′i
k
′x
(t)=∑Ck(t)e+

(t)(8)k=-m′′i
kt′其中Ck(t)=Cke,t=1,⋯,N。将式(7)与(8)代入式(5),并考虑正交性及谐振分量与噪声分量的不相关性,经化简整理后,可得mmi

i

′h′k′fh(t)=∑Ghe∑Ck(t)e+

(t)
=1k=-mi
t′i
t′hh=GhSkChe=JhChe(9)738气象学报56卷mi
h

7、2这里Jh=GhSh,Sh=∑(e),而Ch为序列中
h分量所对应的振幅。若令Dh=JhCh,
=1则式(9)又可化简为′i
t′hfh(t)=Dheh=1,⋯,m(10)由此可见,经TEOFs运算得到的TPC主分量仍然是相应频率
h的正弦波型,但其振幅Dh却为原序列中频率
h的分量振幅Ch的Jh倍。换言之,振幅有增益因子Jh。根据主分量正交性,应有0h≠k′*=(11)22JhChh=k′*′上式中,<·>表示对t求和平均,fk(t)为共轭的TPC。因此,当h=k时,<
>表示主[7]2分量方差。根据功率谱分析理论,式(6)至式(

8、11)中第h个谐振振幅平方值Ch与粗功率谱(或周期图)I(
h)有