奇异谱分析的广义性及其应用特色

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1、第56卷第6期气象学报Vol.56No.61998年12月ACTAMETEOROLOGICASINICADec.,1998
奇异谱分析的广义性及其应用特色江志红丁裕国(南京气象学院,南京,210044)摘要本文从理论上证明,奇异谱分析(SSA)是一种广义功率谱分析。其广义性及应用特色是:(1)它具有稳定的识别和强化信号功能,在识别优势周期信号及强化显示方面,功能超过最大熵谱分析(MESA);(2)其识别和描述信号的方式是时域性的频域特征分析,即时频域相结合,有益于天气气候诊断和预测;(3)它并不受正弦波假定的约束,对于各种非正弦波信号同样有稳定的识别功能。文中实例也验证了理论证明。关键词

2、:奇异谱分析,气候诊断,最大熵谱分析,功率谱分析。1引言[1]由Vautard和Ghil引入的奇异谱分析(SSA)是近年来活跃于气候诊断领域的新技术方法之一。SSA不但适用于天气气候时间序列及其时空场的大尺度振荡研究,而且具有理论价值和普适性。由于它能有效地识别蕴含于非线性动力系统中的弱信号,因而除了对大气环流低频振荡研究有应用意义外,还对研究动力学相空间重构、时序演化信息中的[2,3]吸引子维数等非线性动力学理论有重要价值。本文旨在研究SSA方法识别周期振荡信号的广义功能和优越性,从理论上证明,它是一种适应面广,物理意义清晰,增强信号识别的广义功率谱分析方法。2强化信号的广义功率谱奇异

3、谱分析的运算过程实际上等价于对时间序列{xt},t=1,⋯,NT的时滞排列矩阵x1x2⋯xNx2x3⋯xN+1XT=(1)xmxm+1⋯xNT作所谓时迟经验正交函数展开(记为TEOFs),又称时间经验正交函数展开。根据SVD理
初稿时间:1997年3月7日;修改稿时间:1997年12月26日。资助课题:国家九五攻关项目96-908-01-01课题。6期江志红等:奇异谱分析的广义性及其应用特色737[4～6]论,可以证明,对XT的SVD就是对式(1)的矩阵作TEOFs,其中XT的全体奇异值或其平方值
1≥
2≥⋯≥
s≥0(2)或
1≥
2≥⋯≥
s≥0(3)即为序列{xt}的奇异谱。分析

4、上述运算结果可以提供丰富的时域和频域结构信息。由式(1)获得如下分解式,即对时间序列x′′′
t,取
=1,⋯,m,t=1,⋯,N,N

5、m窗口长度(又称嵌套维数),其行向量蕴含的波型信号波集中于各个TEOF中,而与其有最大相关(协方差)的这些波型信号的变动特征又被提取到相应的TPC中。由于TEOF的正交性,可证明SSA方法就是一种强化频率信号的广义功率谱分析方法。设序列{xt}中隐含谐振分量mi
ktxt=∑Cke+
t(6)k=-m其中,
t为零均值白噪声序列,Ck为第k个谐振分量的振幅。对该序列作SSA,可得式(4)和(5),在式(6)假定下,其TEOF各量可写为i
h
lh
=lh(
)=Gheh=1,⋯,m
=1,⋯,m(7)这里Gh为第h个TEOF所描述的正弦波振幅。根据式(5),考虑式(6)的假定,对式(1)

6、的XT矩阵,就有m′′i
k
′x
(t)=∑Ck(t)e+

(t)(8)k=-m′′i
kt′其中Ck(t)=Cke,t=1,⋯,N。将式(7)与(8)代入式(5),并考虑正交性及谐振分量与噪声分量的不相关性,经化简整理后,可得mmi

i

′h′k′fh(t)=∑Ghe∑Ck(t)e+

(t)
=1k=-mi
t′i
t′hh=GhSkChe=JhChe(9)738气象学报56卷mi
h
2这里Jh=GhSh,Sh=∑(e),而Ch为序列中
h分量所对应的振幅。若令Dh=JhCh,
=1则式(9)又可化简为′i
t′hfh(t)=Dheh=1,⋯,m(10)由此可见,经TEOF

7、s运算得到的TPC主分量仍然是相应频率
h的正弦波型,但其振幅Dh却为原序列中频率
h的分量振幅Ch的Jh倍。换言之,振幅有增益因子Jh。根据主分量正交性,应有0h≠k′*=(11)22JhChh=k′*′上式中,<·>表示对t求和平均,fk(t)为共轭的TPC。因此,当h=k时,<
>表示主[7]2分量方差。根据功率谱分析理论,式(6)至式(11)中第h个谐振振幅平方值Ch与粗功率谱(或周期图)I(
h)有