计量经济学 第五章 异方差性

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1、第五章异方差性用OLS法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验摸型是否满足假定条件。由第二章知，只有模型的5个假定条件都满足时，用OLS法得到的估计量才具有最佳线性无偏特性。当一个或多个假定条件不成立时，OLS估计量将丧失上述特性。本节讨论当假定条件不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。分为5个步骤。（1）回顾假定条件。（2）假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。（3）定性分析假定条件是否成立。（4）假定条件是否成立的检验（定量判断）。（5）假定条件不成立时的补

2、救措施。5.1异方差性的含义与产生的原因5.1.1同方差假定图5.1同方差情形图5.2同方差情形模型的假定条件⑴给出Var(u)是一个对角矩阵，Var(u)=E(uu')=s2I=s2(5.1)且u的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u)不再是一个纯量对角矩阵。15　　　Var(u)=s2W=s2¹s2I(5.2)当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u中的元素

3、ut取自不同的分布总体。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。比如W中的sij与s2的乘积,（i¹j）表示与第i组和第j组观测值相对应的ui与uj的协方差。若W非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。本节讨论异方差。下一节讨论自相关问题。以两个变量为例，同方差假定如图5.1和5.2所示。对于每一个xt值，相应ut的分布方差都是相同的。5.1.2异方差表现与来源异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回归型。递增型异方差见图5.3和5.4。图5.5为递减型异方差。图5.6为条件自回归型异方差。图5

4、.3递增型异方差情形图5.4递增型异方差图5.5递减型异方差图5.6复杂型异方差产生的原因主要有以下几种：(1)模型中遗漏了某些解释变量。15如生产函数：，不同企业由于设计、生产工艺、技术熟练程度、管理的不同，随着生产规模的扩大，产量的差距将越来越大。(2)模型函数形式的设定误差。用线性模型代替非线性模型，用简单的非线性模型代替复杂非线性模型。（3）样本数据的测量误差误差随时间推移的积累，测量工具的改进。（4）随机因素的影响如：政策变动、自然灾害、金融危机、人的思维等。无论是时间序列数据还是截面数据，都会产生异方差，但截面数据更容易产生。递增型

5、异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。图5.7菲律宾的季度数据图5.8剔出2次趋势后的残差序列5.2异方差的后果5.2.1对参数无偏性的影响下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。对模型yt=b0+b1xt+ut当Var(ut)=st2，为异方差时（st2是一个随时间或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。以为例E()=E()=E()=b1+=b115在上式的推导中利用了E(ut)=0的假定。5.2.1对参数有效性的影响但是回归参数估计量不再具有有效性。仍以为例，Var()=E(-b

6、1)2=E=E==¹（在上式的推导中利用了ut的非自相关假定、xt与ut非相关假定）。上式不等号右侧项分子中的st2不是一个常量，不能从累加式中提出，所以不等号右侧项不等于不等号左侧项。而不等号右侧项是同方差条件下b1的最小二乘估计量的方差。因此异方差条件下的失去有效性。5.2.3对参数估计值显著性检验的影响在异方差情况下，无法正确估计系数的标准误差，这直接影响到t统计量值的正确确定，因为在H0成立下，在异方差条件下，OLS估计式不再具有最小方差，如果仍用，去估计真实方差，也就是夸大了所估计参数的统计显著性。所以用t检验来判断解释变量影响的显著

7、性将失去意义。5.2.4对模型估计式应用的影响异方差性会使参数估计值的方差不具有最小的性质，参数估计值与真实值的差异增大，由此得到的回归式对真实总体关系式的代表性亦相应降低，将参数方差较大的估计式就于经济分析、经济预测时，会影响Y的预测区间降低精度。下面用矩阵形式讨论。因为OLS估计量无偏性的证明只依赖于模型的一阶矩，所以当Var(u)如（5.2）式所示时，OLS估计量仍具有无偏性和一致性。E()=E[(X'X)-1X'Y]=E[(X'X)-1X'(Xb+u)]=b+(X'X)-1X'E(u)=b但不具有有效性和渐近有效性。而且的分布将受到影响

8、。　　　Var()=E[(-b)(-b)']=E[(X'X)-1X'uu'X(X'X)-1]=(X'X)-1X'E(uu')X(X'X)-1=s2(X