立体几何中应用与空间

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1、第5节空间向量在立体几何中的应用重点难点重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离难点：将立体几何问题转化为向量问题．知识归纳一、空间中的角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．1．异面直线所成的角：异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得．而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得．其取值范围是(0°,90°].2．直线和平面

2、所成的角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．直线与平面所成角θ的范围是[0°,90°]．θ＝0°时，直线在平面内或与平面平行．θ＝90°时，直线与平面垂直．3．二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的取值范围是[0°,180°).θ＝0°时两个半平面共面；0°<θ<90°时为锐二面角；θ＝90°时为直二面角；90°<θ<180°时为钝二面角．作二面角的平面角的常用方法有：(1)定义法：根据定义，以棱上任

3、一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角．(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角(或其补角)．(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角．二、空间中的距离1．(1)两点间的距离——连结两点的线段的长度．(2)点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．(3)点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．连接平面α外一点与平

4、面α内任一点的线段中，垂线段最短．(4)平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．(5)异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．(6)直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．(7)两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长度．2．求距离的一般方法和步骤求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：①找出或作出有关距离的图形；②证明它符合定义；③在平面图形内计算．空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利

5、用等积法．三、平面的法向量1．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．2.求平面法向量的方法设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则=0，=0.由此可以求出一个法向量n（及已知）.思想方法点拨一、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为几何结论．二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系1．用向量方法研究两直线间的位置关系设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.(

6、1)l1∥l2或l1与l2重合⇔a∥b⇔存在实数t，使a＝tb.(2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0.2．用向量方法研究直线与平面的位置关系设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量．(1)l∥α或l⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋μv2⇔a·n＝0.(2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数t，使a＝tn.3．用向量方法研究两个平面的位置关系设平面α、β的法向量分别为n1、n2.(1)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2⇔存在实数t，使n1＝tn2.(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.若v1、v2是与α平行的两个不共线向量，n是平面β的法

7、向量．则①α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β⇔存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a＝λv1＋μv2.②三、用向量法求空间的角1．求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，则.2.求直线与平面所成的角如图，设l为平面的斜线，，a为的方向向量，n为平面的法向量，为l与平面所成的角，则3、求二面角平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，=，则二面角为或.设二面角的大小为，则.四、用向量法求空间距