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1、弗赖登塔尔的再创造理论对数学思想教学应用的几点思考一一以基木不等式教学为例汪云贵浙江省开化中学浙江衢州324399摘要：木文以基木不等式教学为例，从课堂实际出发，运用弗赖登塔尔的再创造理论，讨论并分析了数学思想教学的应用价值。关键词：数学思想应用不等式一、问题的提出教学实践中，有多位高三学生提出以下问题：当x>O时，由于l+x2≥2x，当且仅当l=x2即x=l时，等号成立，此时2x=2,所以得到函数y=l+x2(x>O)的最小值为2,又因为此二次函数的值域是(1,+∞),并无最
2、小值，前后出现了矛盾，这是为什么？笔者十分惊讶高三学生提出这个问题。高三学生已经学习过使用基木不等式求最值，为什么还存在这些问题？笔者以为，学生的“学”中存在的问题首先应该在教师的“教”中反思：教师只是把“基木不等式的应用”作为知识和技能进行了详细的讲授，让学牛.掌握使用基木不等式解决简单问题的最值，而用基木不等式为什么能求函数最值？事实证明，这些有关基木不等式应用背后的思想木质，学生自己无法自觉地理解知识所蕴含的数学思想，教师要从课堂教学实际出发，运用弗赖登塔尔的再创造理论，可在数学课堂教学上凸显数学思想
3、的应用价值。二、数学思想应用价值实例一一以基木不等式应用为例1.以“最值概念”为出发点，呈现化归思想。数学概念是提示数学知识的核心木质内容，在应用基木不等式求最值时，运用等价化归思想，以最值概念为出发点,能处理相应的问题。弗赖登塔尔的“再创造”理论中的HPM思想包括：以历史发生原理为指导进行“再创造”，基于数学现实有指导的“再创造”。这个理论告诉我们：学生数学学的本质，就是让学生学会用数学的方法观察世界，分析研宄具体现象并加以组织整理,以发现规律的过程，学4数学最好的方法就是“再创造”，学生将要学的知识自己
4、去发现创造出来，亲自参与知识的产生与发展过程，亲尝“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doingmathematics)的过程。“做数学”是学生理解数学的重要条件。案例1:应用基本不等式求最值时，不等式成立的三个条件的一个教学片段。教师：当x>0时，f(x)=x+≥2x·=2，当JkL仅当x=即x=l时，等号成立，所以得到函数f(x)=x+(x>；0)的最小值为2。请同学们判断上述解法是否正确？并说明理由。学生1:用函数最小值的概念可以说明上述解法是正确的，因为对
5、于函数y=f(X)，当任意的x>O吋，f(x)≥2,Jlf(1)=2，所以这个函数的最小值是2。教师：不错，概念是数学的基础，是数学思维的细胞，是数学思维的立足点，从基本概念出发，化新知识为旧知识，化抽象为具体，化复杂为简单的方法，是化归思想的体现，思维切入点就是函数最小值的概念。教师：下面我们用基本不等式来看这个问题：当x>O吋，由于l+x2≥2x,当且仅当l=x2即x=l吋，等号成立，此吋2x=2,所以得到函数y=l+x2(x>；0)的最小值为2。请同学们判断上述解法是否正确
6、？学生2:由二次函数y=l+x2(x>0)图象可以知道，函数在(l,+∞)上没有最小值，所以这种解法肯定不对……教师:不错，用数形结合的思想来考虑了！请继续考虑。学生3:由完全平方数的性质知x2>O,所以函数y=l+x2>l,无最小值。因此上述解法是错误的，得出的2不是这个函数的最小值，这里运用了基本不等式求最值的，怎么还会出错呢？学生4:上述解法是满足了用基本不等式求最值的三个条件“一正、二相等、三定”，先由相等求得x=l，再代入2x得最小值2,但当x>0时，2x&ge
7、;2不一定都成立，因此当x>O时，l+x2≥2也不一定都成立。学生5:用基本不等式求最值吋，不等式满足的三个条件“一正、二定、三相等”，缺一不可，并II三个条件处理有先后次序，否则都有纰漏……教师:这的确是出错的原因，我们冋顾函数的概念，看问题能否转化为我们熟悉的问题：函数f(x)是两个变量x,y按一定的法则f的对应关系，对于函数y=l+x2(x>0)?l+x2≥2x恒成立，但是这个不等式的左边和式是函数y=l+x2(x>；O)，右边积式是函数y=2x(x>；O)，它们都是变
8、量，“积定”的条件并不满足，这就酿成大错了；相反，若是y=x+(x>O),对于正数x有x+≥2x·=2,这个不等式的左边和式是函数y=x+(x>O)，它是变量,占边积式是常数，它是定值，“积定”的条件满足了，这就求出函数的最小值。因此利用基本不等式求函数最小值吋，我们不仅要注意变量为正数的条件，还要特别注意到第二个条件“积定”，这是关键！即积定，和有最小值，积不定,和不定，积是否为
