高中数学教学论文 点击圆锥曲线中最值问题

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1、点击圆锥曲线中的最值问题最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一．求距离的最值例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为，解析：抛物线y=x2的焦点为F（0，），准线为y=，过A、B、M准线y=的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+=(AA1+BB1)+=(AF+BF)+≥AB+=×4+=,当且仅当弦AB过焦点F时，d

2、取最小值，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。二．求角的最值例2．M，N分别是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠MPN的最大值是.解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是，点，直线PM和PN倾斜角分别为.∵∴于是∵∴即∠MPN的最大值为.评注：审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求

3、MF

4、+

5、MB

6、的最小值.⑵求

7、MF

8、+

9、MB

10、的最小值.解析：易知

11、椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=，准线方程x=±.⑴

12、MF

13、+

14、MB

15、=10―

16、MF′

17、+

18、MB

19、=10―（

20、MF′

21、―

22、MB

23、）≥10―

24、F′B

25、=10―2.故当M，B，F′三点共线时，

26、MF

27、+

28、MB

29、取最小值10―2.⑵过动点M作右准线x=的垂线，垂足为H，则.于是

30、MF

31、+

32、MB

33、=

34、MH

35、+

36、MB

37、≥

38、HB

39、=.可见，当且仅当点B、M、H共线时，

40、MF

41、+

42、MB

43、取最小值.评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。例4．点P

44、为双曲线的右支上一点，M，N分别为和上的点，则PM－PN的最大值为.解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点3用心爱心专心和右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P，连结PF1，并延长PF1交⊙F1于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM，连结PF2,交⊙F2于点No.则PN0为适合条件的最小的PN.于是故PM－PN的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.例5．已知e1，e2分别是共轭双曲线和的离心率，则e1+e2的最小值为.解析：考虑到，故得.即e1+e2的最小

45、值为.评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值例6．已知平面内的一个动点P到直线的距离与到定点的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C.⑴求曲线C的方程；⑵过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求△MAN面积的最大值.解析：⑴设动点P到l的距离为d，由题意根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.∵,可得∴故椭圆C的方程为：⑵若直线l存在斜率，设其方程为l与椭圆C的交点将y=kx代入椭圆C的方程并整理得.∴于是又点A到直线l的距离故△MAN的面积从而①当k=0时，S2

46、=1得S=1②当k>0时，S2<1得S<1③当k<0时，得若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2.于是△MAN的面积.综上，△MAN的最大值为.评注：本题将△MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由△≥0求得面积S的最大值。五.求最值条件下的曲线方程例7.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.

47、解法1：设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：(2a2―9)x2+18a2x+90a2―a4=0，由题设△=(18a2)2―4(2a2―9)(90a2―a4)≥0a4―54a2+405≥0a2≥45或a2≤9.∵a2－9>0,∴a2≥45,故amin=3，得（2a）min=6,3用心爱心专心此时椭圆方程为.解法2：设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,)，则acosα―+9=0有解.∵=―9cos(α+)=，∴

48、

49、1≥9a2≥45,∴amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆的方程.解法3：先

50、求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线x―y+9=0与椭圆的一个交点为M，则2a=

51、MF1

52、+

53、MF2

54、=

55、MF

56、+

57、MF2

58、≥

59、FF2

60、=6，于是(2a)min=6,此时易得：a2=45,b2=36，于是椭圆的方程为.评注：本题分别从代数、