资源描述:
《高中数学教学论文 点击圆锥曲线中最值问题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、点击圆锥曲线中的最值问题最值问题是圆锥曲线中的典型问题,它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义,而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一.求距离的最值例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦,若AB=4,则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为,解析:抛物线y=x2的焦点为F(0,),准线为y=,过A、B、M准线y=的垂线,垂足分别是A1、B1、M1,则所求的距离d=MM1+=(AA1+BB1)+=(AF+BF)+≥AB+=×4+=,当且仅当弦AB过焦点F时,d
2、取最小值,评注:灵活运用抛物线的定义和性质,结合平面几何的相关知识,使解题简洁明快,得心应手。二.求角的最值例2.M,N分别是椭圆的左、右焦点,l是椭圆的一条准线,点P在l上,则∠MPN的最大值是.解析:不妨设l为椭圆的右准线,其方程是,点,直线PM和PN倾斜角分别为.∵∴于是∵∴即∠MPN的最大值为.评注:审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点,定点B(2,2).⑴求
3、MF
4、+
5、MB
6、的最小值.⑵求
7、MF
8、+
9、MB
10、的最小值.解析:易知
11、椭圆右焦点为F(4,0),左焦点F′(-4,0),离心率e=,准线方程x=±.⑴
12、MF
13、+
14、MB
15、=10―
16、MF′
17、+
18、MB
19、=10―(
20、MF′
21、―
22、MB
23、)≥10―
24、F′B
25、=10―2.故当M,B,F′三点共线时,
26、MF
27、+
28、MB
29、取最小值10―2.⑵过动点M作右准线x=的垂线,垂足为H,则.于是
30、MF
31、+
32、MB
33、=
34、MH
35、+
36、MB
37、≥
38、HB
39、=.可见,当且仅当点B、M、H共线时,
40、MF
41、+
42、MB
43、取最小值.评注:从椭圆的定义出发,将问题转化为平几中的问题,利用三角形三边所满足的基本关系,是解决此类问题的常见思路。例4.点P
44、为双曲线的右支上一点,M,N分别为和上的点,则PM-PN的最大值为.解析:显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点3用心爱心专心和右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P,连结PF1,并延长PF1交⊙F1于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM,连结PF2,交⊙F2于点No.则PN0为适合条件的最小的PN.于是故PM-PN的最大值为6.评注:仔细审题,合理应用平面几何知识,沟通条件与所求结论的内在联系,是解决本题的关键.例5.已知e1,e2分别是共轭双曲线和的离心率,则e1+e2的最小值为.解析:考虑到,故得.即e1+e2的最小
45、值为.评注:解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解,并注意基本不等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值例6.已知平面内的一个动点P到直线的距离与到定点的距离之比为,点,设动点P的轨迹为曲线C.⑴求曲线C的方程;⑵过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点.求△MAN面积的最大值.解析:⑴设动点P到l的距离为d,由题意根据圆锥曲线统一定义,点P的轨迹C为椭圆.∵,可得∴故椭圆C的方程为:⑵若直线l存在斜率,设其方程为l与椭圆C的交点将y=kx代入椭圆C的方程并整理得.∴于是又点A到直线l的距离故△MAN的面积从而①当k=0时,S2
46、=1得S=1②当k>0时,S2<1得S<1③当k<0时,得若直线l不存在斜率,则MN即为椭圆C的短轴,所以MN=2.于是△MAN的面积.综上,△MAN的最大值为.评注:本题将△MAN的面积表示为l的斜率k的函数,其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识,在处理所得的面积函数时,运用了分类讨论的思想方法。当然,也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程,由△≥0求得面积S的最大值。五.求最值条件下的曲线方程例7.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点,求其中长轴最短的椭圆方程.
47、解法1:设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得:(2a2―9)x2+18a2x+90a2―a4=0,由题设△=(18a2)2―4(2a2―9)(90a2―a4)≥0a4―54a2+405≥0a2≥45或a2≤9.∵a2-9>0,∴a2≥45,故amin=3,得(2a)min=6,3用心爱心专心此时椭圆方程为.解法2:设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,),则acosα―+9=0有解.∵=―9cos(α+)=,∴
48、
49、1≥9a2≥45,∴amin=3,得(2a)min=6,此时椭圆的方程.解法3:先
50、求得F1(―3,0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6),设直线x―y+9=0与椭圆的一个交点为M,则2a=
51、MF1
52、+
53、MF2
54、=
55、MF
56、+
57、MF2
58、≥
59、FF2
60、=6,于是(2a)min=6,此时易得:a2=45,b2=36,于是椭圆的方程为.评注:本题分别从代数、