广义积分敛散性判别法的应用

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1、安.师专攀报(向泊科学蔽)1995年旅魂翔2)若、‘1，。

2、或(x—a)—盖作为比较对象，利用标准积分犷-努或介;粤二XJ.气X—a，(a〉0)的敛散性推导得山的。这在分析教材中都有介绍。在使用判别法时，关键在于如何选取入与d,使得符合判别法的条件，从而得出相应的结论一收敛或发散。一般来说.这种选取是较为困难的。因此，选取入、d，就成为教学中的难点，在分析教材中的例，都是预见选好了入，求出d，据判别法得出相应结论。具体做习题时，在选取入后;还要结合考虑x性(x)的极限，当入，d符合判别法条件1)或幻后，才有相应的结论。对入、d用“尝试法洲对号入座”，一般不易掌握，但是考虑

3、判别法的特点，还是有一定规律可循的。我们通过对下述例题的讨论，看怎样选取入与d。例‘讨论几兴dx的敛散性解一”是被积分函数‘(X，一兴的瑕点•”0<•<，时，in•<”，叮〉”，考虑极限31imx了工一o+一Inx、反二一lim一Inx~lsm4x寺一。‘一。十x一皿一十送里入〜丁丈l，d〜U，砍原积分收双。悦分析讨论:能否取入一告呢？‘由极限lim、奋X〜0+一InXV下〜lim(—inx)〜一co,不满足0〈入<1,0簇d<十、的条件。x—O+怎样确定入呢?我们考虑极限limx‘x~。十Inx侧丁〜ljm，要

4、使该极限值为有限，而0〈久

5、)收敛。于是对。的范围就会得出错误的结论。二03、不要以被积函数的分母在积分区间取零值，就判定它是无界函数的瑕点。如:只恶‘一，.’黑恶存在丫一，不是瑕朴但一0是瑕点•又如犷一竺粤鸟一当0＜减，时，一o不是瑕点。二概竺架蜂一蚀笋•警4、对判别法极限形式本质的认识，)、要判另，犷一f(x)}‘•的敛散性，由极限式:竺乳}f(•)./赤，需考虑一+—时，f(•)一”的速度:当它超过赤一。的速度，而、〉1时，该，分收。；当它不超过赤一。的速度，而入、1时，该积分发散，于是讨论f(x)—O的阶就成为判断积分是否收敛的关键

6、。例3解讨论犷一合•的敛散性考虑limx一+目X.1+x.〜lim—x—I•的XI—(轰+—，+x.X，可取入二n—m，就有】jmx一.一+的X.l+x.当、-。一吋，厂一品dX收熟当、-。一。时，F*—•揣dX发散•有时候不知道耑要进行比较的六的次“、，可以利用泰勒公式看出.例4积”方一万君清”否“敛考虑被积函数的分母、石二而哥厂厄一厂万二要不蕊弃虑石子一X‘海石不;可収、一音于是，lim*1‘_丫x+甘7二了._x百-一代不二二二二二二二—=VZ—•一-;x〜+，x了xVx—Vx—星这里、一合，d—吓，故原积

7、分发散，2，、要判另”瑕积分丈，“•，‘d•(a是瑕点，的敛散性，由极限黑}f(x)}Ix入，需考虑当x〜a干时，f(x)—+，的速度：大时，积分发散；当它的阶比，2二(、＜;)小吋，积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少例5判別积分瑕点是dX、/丁一。xdx，，，〜，•，.-丁二二一-‘口可叙欲任Vxlnx•nU广、厂干!nx+几岸绎，;盯2VXjnX解八I抑安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔一、〜二9，一，.、〜、，“00.—-*〜班远取入俩足一入十1下又U，从阅气育，六刀一二二〜型。

8、田歹必堵活州月得:二tk月Jlim一Insinx七O‘X妈坑x”W丫‘详./10"t〜O十品，limx，.+，“’二L厂3广、’_、工气一人州卜;下，X—川lUlim:二导.9‘〜，人-吧尸二1U吕InX(**)从而应选取入满足若取、一斋＜。，B

9、k〈斋•由(**)式有d—+co,而、＜;.故判另，法失效.、一斋〉。•即。斋•由(**)式得到d—。，若取、):，判另，法也