反常积分的敛散性判别法

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1、【毕业论文】反常积分的敛散性判别法【标题】反常积分的敛散性判别法【作者】文银镜【关键词】反常积分的敛散性　级数判别法　对数判别法　拉普拉斯变换判别法【指导老师】陈波涛【专业】小学教育【毕业论文】反常积分的敛散性判别法【标题】反常积分的敛散性判别法【作者】文银镜【关键词】反常积分的敛散性　级数判别法　对数判别法　拉普拉斯变换判别法【指导老师】陈波涛【专业】小学教育【正文】1引言?我们知道所谓的反常积分的审敛法是用于处理:不通过被积函数的原函数判定反常积分收敛性.在本文中的审敛定理都是有前提条件的，也就是说:只有在前提条件下，我们这些审敛

2、定理才能使用，否则很可能得出错误的结果.从大学数学教材及参考资料中归纳总结出常见判别法，并新增一系列判别法,如对数判别、数列判别等方法，通过这些定理解决反常积分敛散性的问题.2无穷积分的反常积分定义1：若函数?在区间?有定义，符号?称为函数?的无穷积分.设对?，函数?在?可积，若极限存?存在（不存在），则称无穷积分?收敛（发散），其极限称为无穷积分的值，即?.类似地，可定义?上的无穷积分，则其值为?；还可以定义在?上的无穷积分?，若?，两个无穷积分?与?都收敛（至少有一个发散），则称无穷积分?收敛（发散），且?（通常取?比较方便些）.

3、的判别方法.收敛准则由无穷积分定义，无穷积分?收敛?当?时，函数?存在极限.于是，由函数极限的柯西收敛准则就容易得到无穷积分的?收敛准则.定理?：（?收敛准则）无穷积分?收敛，有?.推论1：若无穷积分?收敛，则?.推论2：若无穷积分?收敛，则无穷积分?也收敛（称为绝对收敛）.推论3：无穷积分?收敛，无穷积分?也收敛（称为条件收敛）.下设函数?在区间?有定义，且?在?可积.讨论无穷积分的绝对收敛与条件收敛判别法..无穷积分绝对收敛的判别法.1.比较法则定理?：（比较法则）设定义在?上的两个函数?都在任何有限区间?上可积，且满足?，则当?

4、收敛时?必收敛(或者?发散时，?必发散).例1.讨论?的敛散性.解：由于?，以及?为收敛，根据定理2，?为绝对收敛..2.无穷积分的极限审敛法极限审敛法即上述比较法则的极限形式如下：1：若?在任何?上可积，?，且?，则有：(1)当?时，?与?同敛态；(2)当?时，由?收敛也收敛；(3)当?时，由?发散也发散.当选用?作为比较对象时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(称为柯西判别法).2：设?定义于?(a0)，且在任何有限区间?上可积，则有：(1)当?，且?时?收敛；(2)当?，且?时?发散.3：设?定义于?，在任何有限区间?上可

5、积，且?.则有：(1)当?时，收敛；(2)当?时，?发散.对此法的说明：上述比较法则的极限形式在判别中应用较多，且应用比较判别法及其推论只能判别（非负）无穷积分的绝对收敛性，而不能判别其条件收敛性.例2.判别无穷积分?的敛散性.解：?，有?成立.由?收敛，根据定理2，无穷积分?绝对收敛.另解应用无穷积分极限审敛法1判别无穷积分敛散性更为方便.即，取?，?，则?，由无穷积分极限审敛法2知?收敛..3.无穷积分极限审敛法的等价定理定理?.设?在?上连续，且?，(1)如果存在常数?，使?即有界，则?收敛.(2)如果?是?的同阶或低阶无穷小，

6、则?发散.例3.判断?的敛散性.解：因?，所以?与?是同阶无穷小故由等价定理3知?发散..对数判别法上面的比较判别法比较对象扩展为?的标准时，我们还可以得到下面的对数判别法，从中我们可以发现对数判别法在很多方面判别法更方便.定理?：（对数判别法）设?(任意的?)(1)若存在?，使?，则?收敛；(2)若?，则?发散.证：（1）若?，则?，即?由?收敛及定理2可知?收敛.（2）若?，?，由?发散可知?发散?.推论?对数判别法的极限形式设?(任意的ba),若?，(1)当?时，?收敛；(2)当?时，?发散.当?时，反常积分是否收敛需要进一步审

7、定.例如取?，则?发散；若取?，则?收敛.?例4.?考察积分?的收敛性.解?令?，则由定理4推论可知?，因此，当?时，?收敛；当?时，?发散.当?时，令?，得?，易知?时，有结论：?时，?收敛；?时，?发散..判别无穷积分一般条件收敛的方法定理?：（?判别法）若无穷积分?收敛，函数?上单调有界，则无穷积分?收敛.定理?：（?判别法）若函数?在?上有界，则?，有?函数?在?上单调且当?时趋于零，则无穷积分?收敛.例5.讨论无穷积分?的敛散性.解：1.当?时，?绝对收敛，事实上?而?当?时收敛，所以根据定理2，?在?时绝对收敛.2.当?时

8、，?条件收敛.一方面，因为?而?函数?在?单调趋于零?，故根据定理6可知?收敛，但是显然?是发散的，于是?是发散的，所以根据定理2可知，?在?时发散.另一方面，因为?，有?而函数?在?单调趋于零?，故根据定理6可知?收敛