关于反常积分敛散性的判别

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3、穷限的反常积分和无界函数反常积分，对于无界函数反常积分通过适当的代换就可以转化为无穷限的反常积分。这里只就无穷限的反常积分进行叙述，对于无界函数反常积分，有类似的结果。判定反常积分的敛散性要点如下：⑴如，且，可考察时无穷小量的阶，若阶数，则反常积分收敛；时发散．⑵若，可用比较判别法或比较判别法的极限形式进行判断．⑶若，可考察是否有界．⑷以上的条件，只要对于充分大的能保持成立即可．⑸因与同时敛散，故对有类似的方法．⑹若时无穷次变号，则以上判别法失效，可考虑用Abel判别法或Dirichlet判别法．⑺用Abel判别法，与Dirichlet判别法判定为收敛，只是本身收敛

4、．至于是绝对收敛还是条件收敛，还有赖于进一步考虑收敛还是发散．⑻以上方法无效，还可考虑用Cauchy准则来判断．或⑼用定义，看极限是否存在．⑽用分部积分法，或变量替换法变成别的形式，看是否能判定它的敛散性．⑾用级数方法判定积分的敛散性．⑿用运算性质判断敛散性，例如：若，收敛，则亦收敛．若收敛，发散，则亦发散．⒀对于无界函数反常积分，以上各条都有类似的结论，第⑴8条要特别注意，对于无界函数反常积分而言，此条应是趋向奇点时，为无穷大量，若无穷大量的阶数则积分收敛，若阶数则积分发散．问题2：无穷限的反常积分有一个无穷级数相对应，那么无穷限的反常积分收敛与的关系是否有无穷级

5、数收敛与这样的关系呢？答：无穷限的反常积分收敛与的关系和无穷级数收敛，通项趋于的关系有很大的不同。1、如果无穷级数收敛，则．但对于无穷限反常积分而言，即使其收敛，也并不意味着，例如是收敛的，而当时被积函数不趋于零，甚至是无界的．2、收敛，并且，仍不能断言（当时）．例如3、收敛，，连续，还可能（当）．例如…　　　　此函数可以简单表写为此时，收敛，,连续，但8（当时）．4、上述条件，将改为，依然不能肯定（当时）．这只要考虑函数,其中按上款中的同样的方式定义．问题3：无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限为0是否就没有关系了呢？答：二者有关系。在一定条件下，收敛无穷限反

6、常积分的被积函数当自变量趋于时是趋于零的。主要有下面一些结果：定理1若无穷限积分收敛，且存在极限，则.证明：假设（不防设），由保号性，当时，．从而，这与收敛矛盾。同理可证也不可能．故.推论1.1设函数在区间上可导，且无穷限积分与都收敛，则.证明：由于收敛，故极限存在，从而极限存在，于是由定理1可得．定理2若无穷限积分收敛，函数在上单调，则.证明：倘若在上单调无界，将导致而矛盾，从而在上必单调有界，故存在，由定理1可得．定理3若无穷限积分收敛，函数在上一致连续，则8．证明：由于函数在上一致连续，故，（不妨设），当且时，有．又因收敛，由Cauchy收敛准则，对上述,，当

7、时，有．现对，取，使，且，此时由，得,这就证得．定理4若无穷限积分收敛，函数在上连续，则存在数列，使且．证明：由Cauchy收敛准则，对，使，对上述积分用积分第一中值定理，就有，其中，因此,．例1证明：若连续可微，积分和都收敛，则时，有．证：要证明时有极限，根据Heine定理，我们只要证明恒有收敛．事实上，已知积分收敛．根据Cauchy准则，，以致，恒有．如此,当时，有，从而．8这即表明收敛．故由Heine定理，极限存在．现在来证．若，则由保号性，，当时，有，从而时（当时）．这与收敛矛盾．同理可论也不可能．故.问题4：含参变量的广义积分是如何定义的？它们一致收敛