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时间:2018-10-13
《2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十九 概率、随机变量及其分布列》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题十九概率、随机变量及其分布列1.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)答案:解 (1)由已知得2
2、5+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得P(X=1)==,P(X=1.5)==,P(X=2)==,P(X=2.5)==,P(X=3)==.X的分布列为X[来源:学科网]11.522.53PX的数学期望为E(X)=1×+1.5×+2×+2.5×+3×=1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,Xi(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则P(A)=P(X1=1且X2=1)
3、+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1).由于各顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1)=×+×+×=.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型,主要以解答题的方式考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用.本部分复习要从整体上,知识的相关关系上进行.离散型随机变量问题的核心是概率计算,而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心,在解题中要
4、充分分析事件之间的关系.必备知识互斥事件有一个发生的概率若A、B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)+P(A)=1.相互独立事件与n次独立重复试验(1)若A1,A2,…,An是相互独立事件,则P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).(2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p,事件A不发生的概率为1-p,那么在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为:Pn(k)=Cpk(1-p)n-k.离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)主干知识:随机变量的可能取值,分布列,期望,方差,二项分布,超几何分布,正态分布.(2)
5、基本公式:①E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xnpn+…;②D(ξ)=(x1-E(ξ))2p1+(x2-E(ξ))2p2+…+(xn-E(ξ))2pn+…;③E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ);④二项分布:ξ~B(n,p),则P(ξ=k)=Cpk(1-p)n-k,E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).正态分布(1)若X服从参数为μ和σ2的正态分布,则可表示为X~N(μ,σ2).(2)N(μ,σ2)的分布密度曲线关于直线x=μ对称,该曲线与x轴所围成的图形的面积为1.(3)当X~N(μ,σ2)时,0.683=P(μ-σ<X≤μ+σ)
6、,0.954=P(μ-2σ<X≤μ+2σ),0.997=P(μ-3σ<X≤μ+3σ).以上三个概率值具有重要的应用,要熟记,不可混用.必备方法1.在解含有相互独立事件的概率题时,首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积,这两个事情做好了,问题的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了,如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型,就把这部分归结为用独立重复试验概型,用独立重复试验概型的概率计算公式解答.2.相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的,我们在解题时
7、就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型,这就要根据问题的具体情况去分析,对照常见的概率模型,把不影响问题本质的因素去除,抓住问题的本质.3.求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据数学期望和方差的公式计算.互斥事件、相互独立事件的概率在求随机变量的分布列、期望、方差往往起工具性作用,试题多来源于生活,考查阅读理解能力及对概率知识的应用能力. 【例1】某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相
8、独立,且都
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