选修4-2矩阵和变换第二节矩阵的逆矩阵、特征值和特征向量

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1、WORP文档下载可编辑1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A－1.(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.(5)二阶矩阵A＝可逆，当且仅当detA＝ad－bc≠0时，A－1＝.2．二阶行列式与方程组的解对

2、于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为detA＝＝ad－bc.若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为3．矩阵特征值、特征向量的相关概念专业技术资料WORP文档下载可编辑(1)定义：设矩阵A＝，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．(2)一般地，设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量．(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．(4)设矩阵A＝，

3、称f(λ)＝为矩阵A的特征多项式，方程＝0为矩阵A的特征方程．4．特征向量的应用(1)设A是一个二阶矩阵，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*)．(2)性质1　设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝t1λξ1＋t2λξ2.1．矩阵的逆矩阵是________．答案：2．若矩阵可逆，则k的值不可能是________．答案：3．若矩阵A＝不可逆，则实数a的值为______

4、__．解析：由题意

5、A

6、＝＝2×(a＋1)－1×(1－a2)＝a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.答案：－14．对任意实数x，矩阵总存在特征向量，则m的取值范围是________．解析：由条件得f(λ)＝＝(λ－x)(λ－2)－(m－2)(－3－m)＝λ2－(x＋2)λ＋2x＋(m＋3)(m－2)＝0有实数根，专业技术资料WORP文档下载可编辑所有Δ1＝(x＋2)2－4(2x＋m2＋m－6)≥0对任意实数x恒成立，所以Δ2＝16＋4(4m2＋4m－28)≤0，解得m的取值范围是－3≤m≤2.答案：－3≤m≤2.5．已知矩阵M的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e1＝

7、，并有特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝.则矩阵M＝________.解析：设M＝，则＝8＝，故＝2＝，故联立以上两个方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝.答案：热点考向一求逆矩阵　求矩阵A＝的逆矩阵．【解析】　法一：设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，故且解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，从而矩阵A的逆矩阵A－1＝.法二：∵A＝，∴detA＝－1.专业技术资料WORP文档下载可编辑∴A－1＝＝.【点评】　方法一是待定系数法；方法二是公式法．1．已知变换矩阵A把平面上的点P(2，－1)、Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)、Q1(0,5

8、)．(1)求变换矩阵A；(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1：如不可逆，请说明理由．【解析】　(1)假设所求的变换矩阵A＝，依题意，可得＝及＝，即解得：所以所求的变换矩阵A＝(2)∵detA＝2×2－(－1)×1＝5，∴A可逆A－1＝＝.热点考向二利用矩阵解二元一次方程组--　(1)求矩阵A＝的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识，解方程组【解析】　(1)法一：设矩阵A的逆矩阵为A－1＝，专业技术资料WORP文档下载可编辑则由＝，知解之得∴A－1＝.法二：∵A＝，∴

9、A

10、＝4－3＝1，∴A－1＝＝.(2)二元一次方程组的系数矩阵为A＝，由(1)

11、知A－1＝.因此方程有唯一解＝A－1.∴＝＝.即【点评】　二元一次方程组(a1，b1不同时为零，a2，b2不同时为零)的系数矩阵为A＝，只有当

12、A

13、≠0时，方程组有唯一解A－1，若

14、A

15、＝0，则方程组有无数解或无解．2．用矩阵方法求解二元一次方程组解析：原方程组可以写成＝，记M＝，其行列式＝2×(－5)－1×4＝－14≠0，专业技术资料WORP文档下载可编辑∴M－1＝.∴＝M－1＝，即方程组的解为热点考向三矩阵的特征值与特征向量　给定矩阵A＝，B＝.(1)求A的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；(2)求A4B.【解析】　(1)设A的一个特征值为λ，由题意

16、知：＝0，即(λ－2)(