高考数学总复习配套教案：选修-逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

《高考数学总复习配套教案：选修-逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高考数学总复习配套教案：选修4-2逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量选修4－2矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189～191页)?10?01???1.设M＝??，N＝?1，求MN.?0??10??2??10??01?01?????2?.解：MN＝???1＝????10?0?2??10?a2??b－2??－12.已知矩阵M＝??，若矩阵M的逆矩阵M＝??，求a、b的值．?73??－7a?解：由题意，知MM1＝E，?－0??a2??b－2?＝?10?，即?ab－14????????73??－7a??01??

2、7b－213a－14?＝??10?，??01?ab－14＝1，??即?7b－21＝0，解得a＝5，b＝3.??3a－14＝1，?12?3.求矩阵??的特征多项式．?－12??λ－1－2?解：f(λ)＝??＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.?1λ－2?4.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵M＝[16－2－6]的特征值．?λ－1－6?解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝?(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得?＝(λ＋2)·?2λ＋6?M的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵N＝??36?的特征值及相应的特征

3、向量．??52??λ－3－6?解：矩阵N的特征多项式为f(λ)＝?(λ＋3)＝0，?＝(λ－8)·?－5λ－2?令f(λ)＝0，得N的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，???－6x－6y＝0，?x＝－1，当λ1＝－3时?一个解为??－5x－5y＝0，?y＝1，???－1?故特征值λ1＝－3的一个特征向量为??；?1??5x－6y＝0，?x＝6，??当λ2＝8时?一个解为???－5x＋6y＝0，y＝5，???6?故特征值λ2＝8的一个特征向量为??.?5?1.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．－－

4、－(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1＝B1A1.(3)利用行列式解二元一次方程组．2.特征值与特征向量(1)设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1求逆矩阵与逆变换例1用解方程组的方法求下列矩阵M的逆矩阵．?11?；(

5、1)M＝???01?12??(2)M＝??.?21??ab?，－解：(1)设M1＝???cd??11??ab?＝?10?，则由定义知???????01??cd??01???b＋d＝0，??b＝－1，即?解得?故Mc＝0，c＝0，???d＝1，?d＝1，(2)设M1＝?－a＋c＝1，a＝1，－1?1－1?＝??.?01??ab?，??cd?12??ab??10??则由定义知????＝??，?21??cd??01??2??b＝，?b＋2d＝0，3即?解得?22a＋c＝0，c＝，??2b＋d＝1，?3?d13a＋2c＝1，故M－11a＝－，3?3＝?2?3

6、1?.1?－?323备选变式（教师专享）已知矩阵M＝??2－3??所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13，5)，试求M的?1－1?逆矩阵及点A的坐标．?2－3??－13??2－3??x?－1解：依题意，由M＝??，得

7、M

8、＝1，则M＝??.从而由?????1－1??－12??1－1??y?13?x??－13??13??－1×13＋3×5??2???＝??，得??＝????＝??＝??，?5??y??－12??5??－1×13＋2×5??－3???x＝2，故?∴A点坐标为(2，－3)．?y＝－3，?题型2求特征值与特征向量2a??例2已知矩阵

9、M＝?其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－?，?21?4，0)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．2a??1??－4??解：(1)由????＝??，?21??－2??0?得2－2a＝－4a＝3.(2)由(1)知M＝??23?，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝?λ－2－3?＝(λ－2)(λ????21??－2λ－1?－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.??（λ－2）x－3y＝0，当λ＝－1时，?x＋y＝0，?－2x＋（λ－1）y＝0???（λ－2）x－3y＝0，

10、?1??∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为??；当λ＝4时，?－1???－2x＋（λ－1）y＝03??