高考数学总复习配套教案:选修-逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

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1、高考数学总复习配套教案:选修4-2逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量选修4-2矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189~191页)?10?01???1.设M=??,N=?1,求MN.?0??10??2??10??01?01?????2?.解:MN=???1=????10?0?2??10?a2??b-2??-12.已知矩阵M=??,若矩阵M的逆矩阵M=??,求a、b的值.?73??-7a?解:由题意,知MM1=E,?-0??a2??b-2?=?10?,即?ab-14????????73??-7a??01??

2、7b-213a-14?=??10?,??01?ab-14=1,??即?7b-21=0,解得a=5,b=3.??3a-14=1,?12?3.求矩阵??的特征多项式.?-12??λ-1-2?解:f(λ)=??=(λ-1)(λ-2)+2=λ2-3λ+4.?1λ-2?4.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵M=[16-2-6]的特征值.?λ-1-6?解:矩阵M的特征多项式为f(λ)=?(λ+3)=0,令f(λ)=0,得?=(λ+2)·?2λ+6?M的特征值为λ1=-2,λ2=-3.5.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵N=??36?的特征值及相应的特征

3、向量.??52??λ-3-6?解:矩阵N的特征多项式为f(λ)=?(λ+3)=0,?=(λ-8)·?-5λ-2?令f(λ)=0,得N的特征值为λ1=-3,λ2=8,???-6x-6y=0,?x=-1,当λ1=-3时?一个解为??-5x-5y=0,?y=1,???-1?故特征值λ1=-3的一个特征向量为??;?1??5x-6y=0,?x=6,??当λ2=8时?一个解为???-5x+6y=0,y=5,???6?故特征值λ2=8的一个特征向量为??.?5?1.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.--

4、-(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)1=B1A1.(3)利用行列式解二元一次方程组.2.特征值与特征向量(1)设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使Aα=λα,那么λ称为A的一个特征值,而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.(2)从几何上看,特征向量的方向经变换矩阵A的作用后,保持在同一条直线上,这时特征向量或者方向不变(λ>0),或者方向相反(λ<0).特别地,当λ=0时,特征向量就变换成零向量.[备课札记]题型1求逆矩阵与逆变换例1用解方程组的方法求下列矩阵M的逆矩阵.?11?;(

5、1)M=???01?12??(2)M=??.?21??ab?,-解:(1)设M1=???cd??11??ab?=?10?,则由定义知???????01??cd??01???b+d=0,??b=-1,即?解得?故Mc=0,c=0,???d=1,?d=1,(2)设M1=?-a+c=1,a=1,-1?1-1?=??.?01??ab?,??cd?12??ab??10??则由定义知????=??,?21??cd??01??2??b=,?b+2d=0,3即?解得?22a+c=0,c=,??2b+d=1,?3?d13a+2c=1,故M-11a=-,3?3=?2?3

6、1?.1?-?323备选变式(教师专享)已知矩阵M=??2-3??所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A′(13,5),试求M的?1-1?逆矩阵及点A的坐标.?2-3??-13??2-3??x?-1解:依题意,由M=??,得

7、M

8、=1,则M=??.从而由?????1-1??-12??1-1??y?13?x??-13??13??-1×13+3×5??2???=??,得??=????=??=??,?5??y??-12??5??-1×13+2×5??-3???x=2,故?∴A点坐标为(2,-3).?y=-3,?题型2求特征值与特征向量2a??例2已知矩阵

9、M=?其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P′(-?,?21?4,0).(1)求实数a的值;(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.2a??1??-4??解:(1)由????=??,?21??-2??0?得2-2a=-4a=3.(2)由(1)知M=??23?,则矩阵M的特征多项式为f(λ)=?λ-2-3?=(λ-2)(λ????21??-2λ-1?-1)-6=λ2-3λ-4.令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.??(λ-2)x-3y=0,当λ=-1时,?x+y=0,?-2x+(λ-1)y=0???(λ-2)x-3y=0,

10、?1??∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为??;当λ=4时,?-1???-2x+(λ-1)y=03??

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