5线性系统与线性空不变系统

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1、线性系统与线性空不变系统线性系统定义脉冲响应线性不变系统线性不变系统的传递函数线性不变系统的本征函数级联系统1线性系统定义若一个系统既具有叠加性又具有均匀性，则此系统称为线性系统设叠加性均匀性也就是说，一个系统具有线性，是指输入和输出之间应满足如下关系1线性系统定义线性系统具有叠加性质：即系统对几个输入的线性组合的整体响应就等于各单个输入产生的响应的线性组合。1线性系统定义利用线性系统的叠加性质，可以方便地求出系统对于任意复杂输入的响应。方法是：首先，我们把复杂的输入分解成许多更加基本的函数，即“基元”函数的线性组合。而基元函数的响应是较容易单独确定的。这些基元函数的响应再经线性组合，就

2、可以得到复杂输入所对应的输出，这是线性系统的最大好处。基元函数通常是指不能再分解的基本函数。在线性分析系统中，常用的基元函数有函数、余弦函数、和复指数函数。1线性系统定义0102031线性系统定义2脉冲响应以函数作为基元函数，研究输入与输出的关系利用函数的筛选性质，任何输入函数都可以分解为函数的线性组合这个积分可以看成是x,y平面上无穷多个不同位置（，）处的以权重为系数的线性叠加函数2脉冲响应2脉冲响应的意义是：输入平面上位于x=,y=处的单位脉冲（点光源）通过系统后在输出平面上得到的分布。所以它是脉冲响应或点扩散函数。对于给定的光学系统，点扩散函数一般与输入点脉冲的位

3、置（,）有关。令脉冲响应式（*）通常称为叠加积分，它描述了线性系统输入和输出的变换LL2脉冲响应为了更好地理解叠加积分的物理意义，我们以线性光学成像系统为例加以说明：显然，线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征。只要知道系统对位于输入平面上所有可能的点上的脉冲的响应，就可以通过叠加积分而完全确定系统的输出。另外，如果系统的输入和输出之间满足叠加积所描述的关系，就可以认为这是一个线性系统。2脉冲响应显然，要做到这一点，是相当困难的。不过对于线性系统的一个重要子类——线性不变系统，分析才变得十分简单。一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点物的像，就可以完备地描述这一成像

4、系统的效应。但要注意的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平面上所有可能位置上的函数输入的脉冲响应。2脉冲响应对于空间不变系统，其输入与输出的变换关系是不随输入空间位置而变化的变的。其唯一的效应是输出发生同样的位移。若L则L3线性不变系统一个二维脉冲函数在输入平面上位移时，线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即这样的系统称为二维不变线性系统。其脉冲响应函数可表示为脉冲响应函数仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标的相对间距二维线性不变系统还常常叫做空间不变（线性）

5、系统2线性不变系统物理的空间不变线性系统，输入平面和输出平面常常是不同的两个平面，需要建立两个坐标从研究输入和输出之间关系的角度来看，输入和输出两种信号放在同一坐标系中是方便的，因此对输入平面和输出平面的坐标做归一化（不管两者是否表示同一种物理量），使得从数值上有和脉冲响应函数变为3线性不变系统对于线性不变系统，叠加积分式：式中h(x,y)是坐标原点单位脉冲响应，它可以表征线性空不变系统的性质。上式（**）积分称为卷积积分，其含义仍旧是指：把输入函数f(x,y)分解为无穷多个函数的线性组合，每个脉冲都按其位置加权，然后把系统对于每个脉冲的响应叠加在一起就得对于f(x,y)的整体响应。与

6、（*）式不同的是，不论输入脉冲位置如何，系统脉冲响应的函数的形式是相同的。因而系统的作用可以用一个脉冲响应函数来表征。3线性不变系统变为说明：对于成像系统而言，物平面上一个点光源（函数），通过成像系统后得到一个弥散像点分布（h函数），这种弥散作用很像日晕、月晕现象。对于线性不变系统，由于像点的形状不随物点空间位置而变，所以又把这种特性称为等晕性。对于实际成像系统，一般不可能是严格的空不变系统，这是由于像差的大小与物点位置有关。然而绝大多数光学系统像差大小随时物点位置的变化是缓慢的，因此，即使是空间不变性不能在整个视场内成立，我们也可把视场分成若干个区域，在每个区域内使空间不变性近似成立

7、。这样划分的区域称为等晕区。对于每个等晕区都有各自的h。因此，对线性不变系统的讨论是具有普遍意义的。3线性不变系统4线性不变系统的传递函数上式是输入和输出关系在空域表示，利用卷积定理，可以得到频率的关系式。不变线性系统的的传递函数输入频谱输出频谱系统的传递函数或频率响应它决定了输入频谱中各种频率成分通过系统时将发生什么样的变化。说明：对线性平移不变系统，可以采用两种研究方法。一是在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数；二