高考中二面角大小求法

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1、高考中二面角大小的求法发表日期：2008年10月8日编辑：fuli有599位读者读过此文河南省汝南幼儿师范学校（463300） 史松勇摘要   本文结合高考试题谈了二面角的大小的求法，分为定义法、三垂线法、垂面法和空间向量法。关键字   二面角  平面角 定义法 三垂线法  垂面法  空间向量法   二面角的大小，是高中数学的重点与难点，同时也是高考的热点，常考常新，其求法各式各样，尤其是向量法出现之前的高考，得凭借某些技巧，根据定义构造平面角，有时难度还是很大的，但通过现象看本质，我们也可以引申出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法等，另外还有求二面角大小的通法——向量法

2、。本文结合高考题，来谈谈这几种方法的应用，希望大家在考试过程中迅速识别模式，快速求出二面角的大小。   一、定义法   二面角平面角的定义有三个条件：1、顶点在棱上；2、边分别在两个半平面内。3、边与棱垂直。因为空间的两条垂直不直观，难以识别，且顶点在棱上没有固定位置，具有开放性，这就造成了平面角位置的变化多端，不易作出，但高考中的易作出的平面角顶点往往在特殊的位置，比如等腰三角形底边的中点；以棱为全等三角形公共边的垂足等。只举两例说明：   例1（2004年全国理）如右图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD

3、所成的二面角为120°。   (1)求点P到平面ABCD的距离。  （2)求面APB与面CPB所成二面角的大小   解：我们只求二面角的大小（以下例题同），   即第2问。取PB的中点G，PC的中点F，   连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，   FG=BC，∵AD⊥⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，∴∠AGF是所求二面角的平面角。∵AD⊥面POB，   ∴AD⊥EG，又PE=BE=，∴EG⊥PB，且PEG=60°。   在Rt△PEG中，EG=PE?cos60°=，在Rt△GAE中，   AE=AD=1，于是tan∠GAE==，又∠AGF=π—∠GAE，所以所求二面角的大

4、小为π—arctan=.   本题就是利用等腰三角形底边上的中点与顶点的连线垂直于底边，以及平移垂直于棱的射线到中点构造二面角的平面角，利用平面角的定义使问题得以解决的。   例2（2005年全国理）已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点，  （1）证明：面PAD面PCD；  （2）求AC与PB所成的角；  （3）求面AMC与面BMC所成的二面角的大小。   解：我们看第3问。作AN⊥CM，垂足为N，   连结BN，在Rt△PAB中，   AM=MB，又AC=CB，   ∴△AMC≌△BMC，

5、BN⊥CM，   故∠ANB为所求二面角的平面角。   ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，   所以CM=AM，在等腰△AMC中，AN?MC=?AC，∴AN==。   AB=2，∴cosANB== ,故所求的二面角为arccos( ).   这个二面角象一个三角形绕着它的一条边（棱）旋转而得到的，分别过顶点作旋转边的高，垂足正好重合于一点，以垂足为顶点，在二面角内的高所在的射线就构成了平面角。求正棱锥相邻的面组成的二面角的大小了可用此方法。   二、三垂线法   顾名思义，就是运用三垂线定理来构造二面角的平面角。它的要害是发现一条直线垂直于二面角的一

6、个半平面，垂足为B，与另一个半平面面的交点为A，过B作与棱垂直的直线，垂足为O，连结AO，根据三垂线定理，AO也垂直于棱，所以∠AOB就是这两个半平面组成的平面角。运用三垂线定理作二面角，是高考的热点，有许多这样的例子，仅举一例。   例3（2007年全国理）如右图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点。  （1）证明：EF∥平面SAD；  （2）设SD=2DC，求二面角A—EF—D的大小。   解：看第二问。不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，   △ADG为等腰Rt△,取AG的中点H，连结DH，   则DH⊥AG。又AB

7、⊥平面SAD，所以AB⊥DH   ，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF，取EF的中点M，   连结MH，则HM⊥EF，连结DM，则DM⊥EF，故∠DMH为二面角A—EF—D的平面角。tanDMH=。所以二面角A—EF—D的大小为arctan。   本题构造关键是作出直线DH垂直于二面角的一个半平面AEF，并且是倒置的三垂线的模式。   三、垂面法   垂面法就是作棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所形成的角就是二面角的平面角。