立体几何中二面角的求法

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1、专题五立体几何中二面角的求法★★★高考在考什么二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法一、定义法：例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。分析过程：这个题主要考察的是二面角的定义第一步要找出这个二面角的的平面角第二步是构造三角形第三步是运用余弦定理或者勾股定律的逆定理求角度。二、垂线法例2如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC

2、于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。三、垂面法：例3如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。（1）求证：A1、E、C、F四点共面；（2）求二面角A1-EC-D的大小。四、延伸法例4.如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。五、射影法例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。参考答案例1、分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设A

3、C、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。例2、分析与解  本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。例3分析与证明（1）要证A1、E、C、F四点共面，可证：A、F//EC，取DC中点H，连AH、FH，则AHEC，又FHA1A。故A1F//AH，即A1F//EC，从而A、E、C、F四点共面。（2）要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本题可用

4、三垂线法，因FH⊥底面ABCD于H，过H作HM⊥EC于M，连FM，则由三垂线定理知FM⊥EC。   所以∠HMF为所求二面角A1-EC-D的平面角。   例4分析与解 由图，平面A'BD与平面ABC只出现一个交点，故延长A'D交AC延长线于F点，连BF，则BF为所求二面角的棱。因CD=C'D，则A'C'=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF中点E，连DE，则CE⊥BF，又DC⊥平面ABF，即DE⊥BF，从而∠DEC为所求二面角的平面角。说明 本题也可用射影法求二面角的度数。例5分析与解：本题应用“射影法”求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。

5、因是正方体，所以B1、D1、M在底面射影分别为B、D、A，设棱长为a.