马登理论指导下数学概念变式教学

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1、2006年杭州市数学会评选论文马登理论指导下的数学概念变式教学杭州拱墅职高王利庆内容摘要：数学概念作为数学思维的主要元素，是数学问题解决的基础，在数学知识体系中有重要的地位。马登理论对概念教学的启示是：概念教学中，概念习得之前与习得之后“变”的程度应有不同的侧重点和方法。本文结合教学实际，阐述了在概念教学的形成、深化、应用过程中，是如何利用变式手段，促进对概念的有效建构。关键词：变式概念教学马登理论数学概念是数学思维的主要元素，是数学问题解决的基础，没有概念，整个数学知识体系将无法建构，思维将无法进行。因

2、此数学概念在数学知识体系中有重要的地位，它有效地获得和掌握可以帮助学生在没有直接经验的条件下获得抽象观念，这些所获的观念可以成为同化或发现新知的“固着点”，也可以成为学生在新情景下概念学习时分类的起点；同时，数学概念之间也可以组成具有潜在意义的命题，它充当着知识网络中的‘节点”。因此高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。1变式理论基础及对概念教学的重要启示1．1变式的理论基础10概念变式就是变更概念中的非

3、本质特征，变换问题中的条件或结论的形式或内容，从而使学生获得深刻的理性认识，提高识别、应变、概括的能力。变式教学被教师在课堂教学中充分应用，它对发展学生能力，拓展学生思维方面有重要的作用。变式教学的理论依据是瑞典教育家马登的现象图式学教学理论，其主要观点是:学习就是鉴别，鉴别依赖于对差异的认识，教师应当通过变异维数的扩展引导学生去认识对象的各个方面。该理论对学习活动解释如下：第一，学习就是鉴别。马登指出，学习认识事物或现象就是从对象中区分出一些主要的特征，并将注意力同时聚焦于这些特征。第二，鉴别依赖于对差

4、异的认识。这就是马登所指的“鉴别意味并仅仅意味着主体根据自己先前的关于多多少少有所差异的对象的认知，而从物质的、文化的或感觉的世界中辨认出、察觉到了某个特征”。第三，如果鉴别依赖于对差异的认识，那么主体所能同时经验到的关于对象的各个方面的变异的维数就直接决定了可能的学习空间，进而教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去认识对象的各个方面。第四，与重复练习的数量相比，在教学中应当更加关注练习中所包含的变异的性质。第五，联系教育目标从宏观的角度强调了所说的教学方法的重要性：今天的教育是为了帮助学生对未来作好

5、准备。由于未来的社会显然不同于今天，并将具有更大的变异(不确定)性，因此我们就只有通过经验(体验)变异才能为未来的变异作好准备。1．2变式理论对概念教学的重要启示马登的这一理论，对于概念教学至少可以得到以下两点重要启示:第一，在概念的习得(获得定义)阶段，教师应提供尽可能多的特例，包括较多的正例(所学概念所反映的对象)和一些反例(非所学概念所反映的对象，但较为接近所学概念反映的对象)，使学生获得较大的辨别空间。学生通过两种辨别，一辨“是”与“不是”，将正反例区分开来;二辨正例特有的共同属性，就能较为迅速地

6、初步抽象出所学概念的本质属性，甚至直接得出概念的定义。第二，在概念的巩固(获得定义之后)阶段，教师应充分地“变换”概念，让学生从各个不同的侧面来认识概念。这里的“变”又有两种“变化”:一种是形变实不变，让学生能辨“是”;另一种是实变形不变(形相近，似是而非)，让学生能辨“非”10。通过这两种变化，提高学生的辨别能力，求得学生对概念的理性把握。在教学中，教师应把握好概念习得之前与习得之后“变”的程度，那就是习得之前的变应是较易观察的(重在初步感知)，而习得之后的变应是较难辨别的(重在理性认识)，这是由教学的

7、阶段性目标决定的，切不可随意变化。2如何在概念教学中运用变式有专家根据概念学习的心理过程模式，指出了概念教学可以按渐进线性模式：操作一表象一定义一运用一体系进行教学，该模式基于概念学习过程的时序推进角度。笔者根据这个模式，把数学概念教学分为三个阶段：概念形成、概念深化和概念应用，其中概念形成是基础，它是概念深化的前提；概念应用是目的，但须在概念形成和深化基础上才能熟练应用概念解决问题。笔者根据马登理论对概念教学的启示，分别在概念教学的形成阶段、深化阶段以及应用阶段，是如何合理创设变式问题情境，从而有效地帮

8、助学生建构数学概念。2．1变式在概念形成阶段的应用由上述概念教学模式：操作一表象一定义一运用一体系，笔者把教学过程中的操作、表象和得出概念的定义三个环节理解为概念形成阶段对概念的教学要求。这个阶段的概念教学主要是获得概念的本质属性，弄清概念的内涵，属于对概念的具体层面掌握。在这个环节的教学中，笔者注重提供特例、正例、反例或充分利用原型对概念进行变式教学，通过变式以加深概念的本质属性。变式的形式丰富多彩，如可以利用图形变式、语言