薛晋子 “格点与面积” 推想

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1、第二届“摇篮杯”初中学生数学小论文 县（市、区）：温州市          学校（全称）： 温州市实验中学 作者：薛晋子 指导师：论文题目：多面体中“皮克公式”的猜想二OO七年十一月5多面体中“皮克公式”的猜想摘要：格点多边形面积计算有皮克公式S＝Q+P÷2－1，线段长度存在着有如皮克公式的关系L＝P－1（“格点”数P），一些特殊“格点多面体”存在着体积V=R+Q÷2+Q÷4－1（棱上点数P、面上点数Q、体内点数R）。“格点多面体”存在着有如皮克公式的关系V=R+X－1（X为未知式）。一、格点与面积一张方格纸上，上面画着纵横两组

2、平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。一个多边形的顶点如果在格点上，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。那么格点与面积间有什么公式呢？奥地利数学家皮克(GeorgPick，1859---1943年)发现了一个计算点阵中多边形面积的公式：S＝Q+P÷2－1，其中多边形面积S，内部格点数Q，边上格点数P。例1：下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。 分析：这是一个组合图形，面积可分为两个三角形

3、和一个长方形三部分，每一部分面积的求法，因图而异。如：解答：三角形面积=3×3÷2×2=9，长方形的面积为4×7=28，所以礼盒面积为9＋28=37我们若用皮克公式直接计算：Q＝28，P＝20，S＝28＋20÷2－1＝37，简单。5例2：求下图中梯形的面积。这个梯形图的一周共有16个格点，中间共有32个格点，运用格点图形的面积公式，S＝Q+P÷2－1=32＋16÷2－1=39。例3：计算下面三角形格点中多边形的面积。这个六边形图的一周共有14个格点，中间共有57个格点，运用皮克公式计算面积，S＝Q+P÷2－1=57＋14÷2－1

4、=63。二、线段中存在“皮克公式”既然平面多边形可用皮克公式计算面积，线段中是否存在这样的关系呢？线段上有一些均分点，可称为线段上的“格点”。如图，格点数与线段长度存在着有如皮克公式的关系，L＝P－1。线段长度L格点数PA1A2A323A1A2A3A4A5455A1A2A3A4…An-1Ann-1n三、多面体中“皮克公式”的猜想点、线、面、体组成应该有规律。建立“格点三维模型”，我们把顶点在格点上的多面体称为“格点多面体”。既然格点数与线段长度存在着有如皮克公式的关系L＝P－1，格点数与格点多边形面积间存在着皮克公式S＝Q+P÷

5、2－1，那么多面体的体积V与棱上点数P、面上点数Q、体内点数R之间应该有一种关系。可能是：V=R+Q÷2+P÷4－1。如图1、2、3，V=R+Q÷2+P÷4－1成立。图1图2图3体内点数R面上点数Q棱上点数P多面体体积VR+Q÷2+Q÷4－1图1162088图2210241212图3314281616再看图4，R=2，Q=8，P=20，V=R+Q÷2+P÷4-1=10，公式成立图45但是，在图5、6中，V=R+Q÷2+P÷4－1不成立。图5图6体内点数R面上点数Q棱上点数P多面体体积VR+Q÷2+P÷4－1图5141976.75

6、图616195677..75猜想：“格点多面体”存在着有如皮克公式的关系V=R+X－1（X为特殊未知式）。总之，点、线、面、体与“格点”应有如下关系：点线：线段的长度L面：多边形面积S体：多面体体积V体内点数00R面上点数0QQ棱上点数PPPL＝P－1S＝Q+P÷2－1V=R+X－1（X为特殊未知式）5