动力学中的临界问题与极值

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1、动力学中的临界问题与极，在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法。一、极值问题1、假设法有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，侃在变化过程中不一定出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。例1一斜而放在水平地而上，倾角0=53°，一个质S为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端，如图1所示。斜面静止吋，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以lOm/s2的加速度向右运

2、动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。(g取lOm/s2)解析：斜而巾静止向右加速运动过程屮，斜而对小球的支持力将会随着a的增大而减小，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于e角。而题屮给出的斜面向右的加速度a=10m/s2,到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜而，然后求出小球刚刚脱离斜而的临界加速度才能断定。设小球刚刚脱离斜面时斜面向右

3、的加速度为％，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图2所示。易知mgcot沒=代入数据解得％=1.5m/s2因为〉％，所以小球已离开斜面，斜面的支持力〜=0。同理，由受力分析可知，细绳的拉力为：T=y/(mg)2+(，nu)2=2.837V此时细绳拉力T与水平方向的夹角为：^=arctan^=45°ma例2如图3所示，质量为i=的物块放在倾角为5=37°的斜而体上，斜而质量为M=2ksf斜面与物块间的动擦因数力12，地面光滑，现对斜面体施•-•水平推

4、力r，要使物体■相对斜面静止，试确定推力r的収值范围。(g=10w/5)图4解析：（i）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为r,，此时物块受力如图4所示，取加速度的方向为y轴正方向。对物块分析，在水平方向有竖直方向有=o对整体有巧=（虹+冲七代入数值得A=4.78w/s2’A=143況（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为r2,对物块分析，在水平方向有^sin5+/^cos5=Am2）竖直方向有&cos^——例g=0,对整体有F疒{M七m}'代入数值得％=\2miF2=33.67V综上

5、所述可知推力r的取值范围为：14.3W

6、弹力FN竖直向上的分力等于A的重力时，地而对A的支持力Fna为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件是水平力F为某一值时，恰好使A沿A与B的接触面向上滑动，即物体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图6。对整体有：F=2Ma•’隔离A，有：FN八=0，F-Fnsin60°=Ma9FNcos60°-Mg=0a/F/60。’Mg图6解得：F=2忑Mg所以F的范围是0彡F彡2彻g例4如图所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为弘，槽的半径为I且氱与水平线成a角，通过实验知道，当木块的加速

7、度过大吋，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为I,木块的质量为亂各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽、解析：当木块加速度*:•时，小球受重力和支持力，支持力的作用点在最低处。当木块加速度逐渐增大，支持力的作用点移到&点吋，小球将滚山圆弧槽，此状态为临界状态，小球受力如图2所示，由牛顿第二定律有=得％=当木块向右的加速度至少为%=gcota时小球能滚出圆弧槽。点拨：当圆弧槽静止时，小球受到支持力的作用点在最低处，当圆弧槽的加速度逐渐增大时，支持力的作用点逐渐向&点靠近，

8、当支持力的作用点在&处时，圆弧槽的加速度S大，圆弧槽加速度再增大，小球会从圆弧槽内滚出来。确定临界点，是求解此题的关键。3、数学方法图9将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法求出临界条件。例5如图9所示，质量力M=2知的木块与水平地囬的动摩擦因数//=0.4，木块川轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F,使木块沿地而向右做直线运动，定滑轮离地而的高度A