第一章 极限、连续及间断

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1、第一章极限、连续与间断第一章极限、连续与间断本章主要知识点l求极限的几类主要题型及方法l连续性分析l间断判别与分类l连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。（1）题型I　　方法：上下同除以的最高次幂例1.1．解：原式例1.2．解：原式=12例1.3．-21-第一章极限、连续与间断解：原式===例1.4．解：原式===例1.5．解：原式==1（2）题型II原式=例1.6．解：原式=1/2例1.7．解：原式=-

2、21-第一章极限、连续与间断例1.8．解：原式===例1.9．解：令，原式=＝例1.10.解：a+2+b=0,原式=a=2,b=-4（3）题型III若，有界例1.11.解：因为　＝０，而有界所以原式＝０。例1.12．解：因为　（），有界，　　所以　原式＝０．例1.13．-21-第一章极限、连续与间断解　因为　，有界；　所以原式＝０。（4）题型IV识别此类题型尤为重要，主要特征为未定式．步骤如下：例1.14．解：原式＝＝＝．例1.15．解：原式＝　　　　＝　　　例1.16．解：原式=（5）题型V等价无穷小替换替换

3、公式：-21-第一章极限、连续与间断替换原则：乘除可换，加减忌换。例1.17．错解：=0例1.18．解：原式==-20例1.19．解：原式==例1.20．解：令，则原式＝＝-21-第一章极限、连续与间断＝＝例1.21．解：原式=例1.22.解：原式=例1.23.解：原式=例1.24.解：原式===-21-第一章极限、连续与间断（6）题型VI洛必达法则（见导数相关内容）；（7）题型VII变上限积分有关积分（见积分相关内容）；二、极限应用—连续性分析定义：变形：,其中分别表示左、右极限。例1.25．，若在处连续，求

4、。解：，故例1.26．，若在处连续，求解：由得：故为任意实数-21-第一章极限、连续与间断例1.27．，其中为有界函数，问在是否连续？解：因为所以，在处连续。例1.28．在可能连续吗？解：，不论取何值，均不能连续。三、极限应用—间断识别及分类1．识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2．分类方法：（a），为可去间断；（b），为第一类间断，或称跳跃型间断；（c）、至少有一个不存在，为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为，则为第二类无穷间断。例1.29．解：间断点为，，,对于，,因为，所以

5、为可去间断。对于，当，即，，可去间断；-21-第一章极限、连续与间断对于，当，即，,可去间断；当，，为第Ⅱ类无穷间断。例1.30．解：间断点，0，。在为Ⅱ类无穷间断。，x=0为可去间断点。例1.31．解：定义域为。间断点为。因为，所以均为的Ⅱ类无穷间断。例1.32．解：定义域为，间断点为对于，，为第Ⅱ类无穷间断；对于，，为第Ⅱ类间断。注：对仅考虑了其一个单侧极限。例1.33．-21-第一章极限、连续与间断解：间断点是：，x=0是可能间断点。对于x=0，f(0+0)=,f(0-0)=,x=0为第Ⅱ类间断；对于为第

6、Ⅱ类间断；对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，为第Ⅱ类间断。注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理：在闭区间内连续，且，则在至少有一零点，即存在，使得。应用此定理需要注意以下几点：(0)如何定义。区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。验证在闭区间上的连续性，验证在两端的符号。此定理不能确定是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证在内的单调性（参见导数应用部分）例1.34．证明：在内有一实根证：构造，易知在上连续，且，，故，由连续函数介值定理知，在有实根，即命题得证

7、。例1.35．证明至少有一正根证明：令，在内连续，且，由闭区间连续函数介值定理得，在至少有一根，即命题得证。五、数列极限-21-第一章极限、连续与间断定理：对充分大的n成立，，如果，那么。例1.36．解：因为，，所以，原式=1/2。单元练习题11．，则。2．如果，在处连续，则。3．与等价无穷小，，。4．与是等价无穷小，，。5．的间断点为。6．，则，。7．在下列极限中，正确的是（）A．B．C．D．-21-第一章极限、连续与间断8．若那么（）A．B．C．D．以上都不正确９．在下列极限中，不正确的是（）A．B．C．D

8、．10．计算下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）-21-第一章极限、连续与间断（10）（11）（12）11．分析函数的间断点，并指明其类型。12．分析的间断点，并指明其类型。13．分析的间断点，并指明其类型。14．分析函数的间断点，并指明其类型。15．证明方程至少有一正根，有一负根。16．证明：方程至少有一正根。17．。18．历年真考题1、（2001）1、下列