初 三 数 学（第8讲）圆的认识 (二) （补充“垂径定理”）

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1、初三数学（第8讲）主讲教师：李跃华（苏州立达中学）【教学内容与目的要求】第23章圆§23.1圆的认识(二)（补充“垂径定理”）教学目的：1、探索并了解圆周角的对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。2、掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。【知识重点与学习难点】4、难点：利用圆的轴对称图形来发现“垂径定理”3．通过探究、发现定理，培养观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力，提高的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养思维的灵活性。如通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。【试一试】1、垂径定理的发现：如图可

2、以知道，圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴。如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E，再将纸片沿着直径CD对折，①观察右图在⊙O中任意一条弦AB将圆周分为哪几部分？②观察右图垂直于弦AB的直径CD和弦AB将圆周分为哪几部分？这几部分间存在什么关系？EA与EB存在︵︵什么关系？比较AE与EB、AC与CB，你能发现什么结论？③总结出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。2、分析定理的题设和结论。题设结论直线(直径)平分弦直线过圆心（直径）直线平分弦所对优弧直线垂直于弦直线

3、平分弦所对劣弧注意：题设中的两个条件缺一不可。垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，推论1的实质是：一条直线(如图)(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直

4、于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．1(2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．(3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图中，若AB∥CD，则AC＝BD注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。【例题选讲】例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证

5、：CE=DF。证明：过O作OM⊥CD于M，∴CM=DM，∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE//OM//FB，又∵O是AB中点，∴M是EF中点（平行线等分线段定理），∴EM=MF，∴CE=DF。说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。分析：因为不

6、知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：（1）假若△ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC，可知，，∴点A是弧BC中点，连结AO并延长交BC于D，由垂径推论可得AD⊥BC，且BD=CD，这样OD=2cm，再连结OB，在Rt△OBD中OB=6cm，可求出BD的长，则AD长可求出，则在Rt△ABD中可求出AB的长。（2）若△ABC是钝角三

7、角形，如图，连结AO交BC于D，先证OD⊥BC，OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm，OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长，从而在Rt△ADB中求出AB的长。略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB，∵AB=AC，∴，∴AD⊥BC且BD=CD，∴OD=2，BO=6，2222在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD=OBOD=62=42，2在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8，2222由勾股定理可得：AB=ADBD=842=46(cm)（2）同（1）添加辅助线求出BD=42，在Rt△ADB中，AD=AO-O

8、D=6-2=4，2222由勾股定理可得：AB=BDAD42443(cm)，∴AB=46cm或43cm。说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。例3．已知如图：直线AB与