直线及方程教师

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1、第三章直线与方程课堂接力小专题13倾斜角PK斜率直线的倾斜角和斜率是联系非常紧密的两个概念，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。当直线的倾斜角为90°时斜率不存在。还有当直线的倾斜角在某个范围内变化时，斜率的变化情况如何，是同学们最容易出错的地方。本小节通过定义的辨析和示例的解读，来突破这个问题。（一）问题剖析1忽视斜率的存在：认为所有直线都有斜率。如果倾斜角为90°时,直线的斜率就不存在，但这时并不是直线不存在,而是直线垂直于x轴，因为定义直线斜率时先排除了倾斜角是90°。2不明确直线倾斜角和斜率之间的变化关系。从可以看出，当斜率大于0时，即倾斜角的正切值大

2、于0时，倾斜角，当斜率小于0时，即倾斜角的正切值小于0时，倾斜角。（二）示例解读类型一直线倾斜角和斜率的关系例1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法是正确的是（）A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).【思路】从定义入手，并注意易错点。【错解】B【正解】D正确，其余均错误，原因如下：A.与x轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；B由斜率和倾斜角的函数图象易知。C..如果两直线的倾斜角都是，但斜率不存在，也就谈不上相等.【易错评析】忽视斜率存在的条件及直线倾斜角和斜

3、率之间的关系。因此把握好关键点是学好知识的前提。类型二忽视斜率的存在例2．已知M(2,－3),N(－3,－2)，直线l过点P(1,1)，且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是.【思路】先求出直线PM和PN的斜率，注意倾斜角和斜率的变化关系。【错解】算出两直线PM和PN的斜率，然后直接写出。【正解】,当直线l绕着点P由PM旋转到与轴平行的位置时，它的斜率变化范围是当直线l绕着P点由与12轴平行的位置旋转到PM位置时它的斜率变化范围是。∴要使直线l与线段MN相交，则有k≥或k≤－4【易错评析】主要还是忽视的倾斜角为90°时,直线的斜率就不存在情况，以及对倾斜角和斜率的

4、变化关系把握不准。【自我检评】1．下列命题中，正确的命题是（）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαB.直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC.任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率D.直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π2．若直线k的斜率满足－

5、线的点斜式和斜截式本节共有两个知识点：直线的点斜式方程问题，直线的斜截式方程问题.在求直线方程时，待定系数法是非常重要的方法，但要考虑到点斜式方程的局限性，最好先考虑直线斜率不存在时是否满足题意。另外同学们要了解本节中的斜截式方程和一次函数的关系，并对其中截距要充分的理解：截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，千万不可把截距当成距离。（一）类型剖析1.直线过定点问题点斜式方程可以看成过定点的直线系(不含)，这样可以通过对某些直线方程变形转化为点斜式方程的形式，就可以知道这条直线通过某一定点了。如由可知方程表示的直线过点(3,-2)。2.利用截距的几何意义解题

6、斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其方程中和具有明显的几何意义，是直线的斜率，是直线在轴上的截距，在点斜式方程中令x＝0，可得直线在y轴上的截距。（二）示例解读12类型一直线过定点问题例1.已知直线l：.(1)求证：不论取何值，直线l总过定点；(2)若直线l不过第二象限，求的取值范围.【思路】（1）可通过把直线方程化成点斜式，得出定点坐标；(2)可化成斜截式方程利用数形结合的方法处理。【解析】因为直线l：。所以直线l的方程可变为，因表示过点，斜率为的直线。所以不论取何值，直线l恒过定点。(2)因为直线l：.所以直线l的斜截式方程为，因为直线l恒过定点M且不过第二象限.所以

7、,即.所以直线l不过第二象限时，的取值范围为.【方法评析】把点斜式方程看成过定点斜率变化的直线系，据此可以简化一些运算或用待定系数法设过定点的直线方程.这一思想在后面的学习中还会有更广泛的应用。类型二利用截距的几何意义解题例2.已知直线过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________．【思路】求面积只需知道三角形的底边和它的高，结合图形可知三角形的底边和它的高恰好是直线在x轴、y轴的正半轴的截距的绝对值。【解析】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)