不等式证明四（反证法与放缩法）

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1、不等式证明四（反证法与放缩法）一、反证法：有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法――反证法去证明，即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。例1、若x,y>0，且x+y>2，则和中至少有一个小于2。反设≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2与x+y>2矛盾，∴原式成立例2、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证：（1）设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,则b+c=-a>0∴ab+bc+ca=a(b+

2、c)+bc<0与题设矛盾（2）若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0同理可证：b>0,c>0例3、设0,(1-b)c>,(1-c)a>,则三式相乘：(1-a)b•(1-b)c•(1-c)a>①又∵0

3、的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A>C且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练.比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。例4、若a,b,c,dÎR+，求证：证：

4、记m=∵a,b,c,dÎR+∴∴12时，求证：证：∵n>2∴，∴n>2时,例6、求证：证：∵∴思考：若把不等式的右边改成或，你可以证明吗？例7、求证：证：∵

5、a+b

6、≤

7、a

8、+

9、b

10、

11、a

12、+

13、b

14、-

15、a+b

16、≥0,作业补充题1、设00,y>0,,，求证：ab>c,则w教后反思

17、：