灵活运用数学模型 归类巧解应用题

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1、灵活运用数学模型归类巧解应用题：按数学应用意识和能力层次的高低，数学应用题大致可以分为四种类型。对于每种不同的类型，其建模能力的要求也不同。若能掌握每种类型的应用题的建模方法，则可以大大提高解应用题的效率，从而达到培养学生的应用意识的教学目的。可以说，数学建模是数学应用题的最高层次。　　关键词：数学应用题；应用意识；数学建模；数学模型；分类　　：G623.5：B：1672-1578（2010）12-0166-02　　　　高中数学新课程标准强调要培养学生的应用意识。从近几年的高考题来看，也出现了许多旨在考查学生运用所学知识、分析和解决问题能力的数学建模方面的应用题，这说明数学应用题的教学愈来

2、愈被教育界所重视。　　华罗庚先生说：“宇宙之大，粒子之微，……，无不用数学。”数学于现实，现实世界中无处不用到数学。可以说数学应用题教学即是数学教育的心脏，因为它不但是检验学生掌握数学知识和技能的基本手段，而且也是培养学生应用意识的有效途径。学数学必然要解答各种各样的数学问题，数学建模是解答数学应用题的核心和关键，数学建模是数学应用题的最高层次。数学应用题具有丰富有社会信息、多视角的横向联系和多层次的能力要求，所以在利用数学模型解应用题时，老师应引导学生对纷繁复杂的各种应用题进行总结归类，以帮助学生理清头绪，掌握方法，提高解题效率。　　按数学应用意识和能力层次的不同，数学应用题大致可以分为

3、以下四种类型：　　1直接套用现成的公式　　从广义上来讲，一切数学概念、公式、定理、方程式和算法系统等都是数学模型。在教学中，一些简单的应用题可以直接套用现成的公式，无需学生考虑实际问题的数学化过程，即建模过程。例如利用正弦定理可计算出建筑物的高度，给出储蓄本利和公式可以计算本利和等问题。这种类型的应用题是最低层次的数学应用题，其目的是让学生初步形成数学应用意识。在这种类型的应用题中，学生一般体会不出到数学建模的过程。　　[例题1]1980年我国人均收入225美元，若到2000年，人民生活水平达到小康水平，即人均收入为817美元，则平均年增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2010年人均

4、收入至少多少美元？（复利公式：）。　　分析：直接套用复利公式就可以求出增长率。　　略解：设年平均增长率为x，则　　解得:x=0.060　　又设2010年人均收入为y美元，则　　解得：y=1464(美元)　　2利用现成的数学模型对应用问题进行定量分析　　根据问题中的信息与已掌握的知识相联系起来，对问题进行定量分析，利用现成的、已知的数学模型将应用问题数学化。这种类型的应用题是在类型1的基础上的提高，是学生应用能力进一步提高的目标。当学生掌握了一定的数学基础知识，并具备了初步的数学应用意识之后，就可以解答这种类型的应用题了。中学数学里，方程或函数模型、函数最值模型、不等式模型、数列模型、几何模

5、型等都是现成的、为学生所熟知的数学模型。　　[例题2]有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获取最大利润，对甲、乙两种商品资金投入应分别为多少？能获得多大的利润？　　分析：这是一道函数最值模型的数学应用题，仔细分析题意，搜集问题中的信息，明确各数量之间的关系，联系相应的数学知识，利用函数最值模型，可完成问题的解答。　　简解：若设对甲种商品投资万元，则乙种商品的投资为3-x万元。设所得的总利润为x万元，则可得　　　　问题转化为求该函数的最大值。　　又设3-x=t,则x=3-t

6、2，且t∈[0,3]　　　　所以　　3寻求主要因素数量关系，建立数学模型求解　　所给出的应用问题是实际生活中熟知的问题，具有复杂性和真实性，解答时，必须对主次因素作出分析、判断，寻求主要因素之间的数量关系，建立符合实际情况的数学模型。这种类型的应用题，要求学生具备一定的数学应用意识和初步的数学应用能力，是更进一层的应用题型。在这种类型的应用题中，对数学建模能力的要求尤为突出。　　[例题3]在一段可以看作直线的河边BC的北面的一个采矿场A，它到河岸的距离AB为15千米，河边BC距离为45千米，现须将矿石从A运往C处。已知陆路每千米运费是河中航运每千米运费的2倍。现打算在BC上选一点D作为码

7、头中转矿石，从D向矿场修筑一公路AD，实现水陆联运，问D点应选在距B多远处，才能使运费最省？（码头中转费及基建费不考虑）　　分析：根据题意，忽略了次要因素，保留下来的各个数量，可以借助图形来加以明确，理顺它们之间的关系，问题实际转化为求二次函数的最值问题，建立数学模型。　　解：设D、B相距x千米，航运m元/千米，陆运2m元/千米，总运费为y元，则　　从而x=53千米，D选在离B点53千米处使运费最省。　　4对原始的实际问