正弦和余弦相互关系

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1、正弦和余弦的相互关系公式教学目标1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题；2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；3．培养学生运用知识结构总结问题的能力。教学重点和难点公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点。教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题A（投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13）①c＞a，c＞b答：（1）边的关系：②a+b＞c，…bc③a2+b2=c2。（2）角的关系：∠A+∠B=90°。C

2、aB（3）边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，…图6-13教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题。（板书课题）二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程1．复习特殊角三角函数值。（边问边按下列格式打出投影片，如图6-14）sin30°=；cos60°=；sin60°=；cos30°=；sin45°=；cos45°=。问：你能发现什么规律

3、？答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°。2．从特殊到一般提出猜想。猜想：设A和B互为余角，则：sinA=cosB，30°cosA=sinB。23．证明猜想，形成公式。（采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式。）145°互为余角的正、余弦的相互关系：1（1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB。（2）sinα=cos（90°-α），或cosα=sin（90°-α）。图6-141（3）数学语言叙述：任意锐角

4、的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。练习1（口答）sin37°=cos；cos62°=sin；sin47°-cos43°=；=。4．应用公式，变式练习。例1（1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A。求cosB；（2）已知sin35°=0.5736，求cos55°；（3）已知cos47°6＇=0.6807,求sin42°54＇。分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式。三、sin2A+cos2A=1的教学过程1．从学生原有的认知结构讲授“sin2A+cos2A=

5、1”公式（投影）如图6-15，△ABC中，∠C=90°。复习：a+b＞c，a2+b2=c2。引导：>1，。发现：sinA+cosA>1，sin2A+cos2A=1。由此得到sinA，cosA相互关系的两条性质：（A为锐角）（1）sinA+cosA>1，（了解）（2）sin2A+cos2A=1。（重点）对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握。所以下面讲公式（2）的变形和应用。2．理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形。sin2A+cos2A=1，sin2A=1-cos2A=（1+cosA）（1-cosA）

6、，sinA=，cos2A=1-sin2A=（1+sinA）（1-sinA），cosA=。3．解公式成立的条件。4．应用举例，变式练习。练习2（口答）下列等式是否成立？（1）sin230°+cos245°=1；（2）sin237°+sin253°=1；（3）cos256°+sin256°=1；（4）sin246°+cos246°=1；（5）sin2α+sin2（90°-α）=1。例2已知∠A为锐角，且cosA=。求sinA的值。解：因为sin2A+cos2A=1，且∠A为锐角，所以sinA===。教师指出：解题时，根据s

7、in2A+cos2A=1，当∠A为锐角时，已知cosA可求sinA，同样已知sinA也可以求cosA，利用上面的公式，还可以将式子化简。例3化简：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A。（∠A为锐角）分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA和cosA，于是从结构上联想到“sin2A+cos2A=1”这个公式。解：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A=sin2A（sin2A+cos2A）+cos2A=sin2A+cos2A=1例4已知：△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如图6-16。

8、求sinA，cosA，sinB，cosB。解：AB===6，所以sinA==，cosA==，AsinB=sin（90°-A）=cosA=，2cosB=cos（90°-A）=sina=。B4C这里求cosA，也可用cosA=来求。图6-16四、小结（投影）1．先提出以下问题：（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的