4.1正弦和余弦

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1、锐角三角函数本章内容第4章正弦和余弦本课内容本节内容4.1做一做画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算=与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是否相等（精确到0.01）.如下图所示，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A=∠A′=65°，∠C=∠C′=90°.（1）（2）小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm，斜边A′B′=2.2cm，算出：（1）（2）这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？

2、由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于探究如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=.∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？∠A=∠D=，∠C=∠F=90°，∵△DEF.Rt∽△ABC∴Rt即∴∴这说明，在有一个锐角等于　的所有直角三角形中，角　的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.结论如图，在直角三角形中，我们把锐角　的对边与斜边的比叫作角　的正弦，记作sin，即根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到sin30°=举例例1如图所示，在直角三角形

3、ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值.解∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是（1）求sinA的值；解∠B的对边是AC，根据勾股定理，得AC2=AB2-BC2=52-32=16.于是AC=4.（2）求sinB的值.因此练习1.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．答：答：如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角　的正弦值.2.解如图，设点A（3，0），连接PA.A●在△APO中，由勾股定理得因此动脑筋如

4、何求sin45°的值？如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°.从而AC=BC．根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是AB=BC.因此动脑筋如何求sin60°的值？如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠B=60°，则∠A=30°，从而.根据勾股定理得AC2=AB2-BC2=AB2-于是因此例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键，显示结果为0.7660…至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角的正弦值，我们可以利用计算器来求.如果已知正弦值，我们也

5、可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知=0.7071，依次按键，显示结果为44.999…，表示角约等于45°.sin（1）≈0.64280.267231.5做一做（3）若=0.5225，则≈（精确到0.1°）；（4）若=0.8090，则≈（精确到0.1°）.利用计算器计算：（2）≈sinsin（精确到0.0001）；（精确到0.0001）；54.0举例例2计算：sin230°-sin45°+sin260°sin230°-sin45°+sin260°解sin230°.我们把（sin30°）2简记为1.用计算器求下列锐角的正弦值（精确到0.0001）：（1）3

6、5°；（2）65°36′；（3）80°54′.练习解:解:2.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角（精确到0.1°）：（1）sin=0.8071；（2）sin=0.8660.3.计算：（1）sin260°+sin245°；解（1）sin260°+sin245°（2）1-2sin30°sin60°（2）1-2sin30°sin60°.探究如下图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？∵∠A=∠D=，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而因此由此可得，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的邻边与斜边的比值

7、是一个常数，与直角三角形的大小无关．结论结论如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜边的比叫作角的余弦，记作，即斜边角的邻边从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有从而有举例例3求cos30°，cos60°，cos45°的值．解对于一般锐角（30°，45°，60°除外）的余弦值，我们可用计算器来求.例如求50°角的余弦值，可在计算器上依次按键，显示结果为0.6427…如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知=0.8661，依次按键，显示结果为29.9914…，表示角约等于30°.cos（3）若=0.9659，则≈（精确到0.1

8、°）；（4）若=0.2588，则≈（精