初三数学综合训练题（五）

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初三数学训练题（五）1．商场销售A，B两种品牌的衬衣，单价分别为每件30元，50元，一周内共销售出300件；为扩大衬衣的销售量，商场决定调整衬衣的价格，将A种衬衣降价20%出售，B种衬衣按原价出售，调整后，一周内A种衬衣的销售量增加了20件，B种衬衣销售量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售多少件？(2006年广东省)2．如图6，已知矩形ABCD的边长AB3cm，BC6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：1CB（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？9M（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACDDA相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．N（肇庆市2006）图6 2．探索A在如图12－1至图12－3中，△ABC的面积为a．（1）如图12－1,延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式BCD表示）；图12－1（2）如图12－2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，E使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；ABCD图12－2E（3）在图12－2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图12－3）．若阴影部分的面积为S3，A则S3=__________（用含a的代数式表示）．发现BCD像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图12－3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可F图12－3以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．M应用2去年在面积为10m的△ABC空地上栽种了某种花E卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展AH成△MGH（如图12－4）．求这两次扩展的区域（即阴影CBD2部分）面积共为多少m？（2006年河北省）FG图12－4 3．如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．FND(F)CDCDCNFOOOGEA(G)B(E)AMBABMEG图13－1图13－2图13－34．小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a>8），就站到A窗口队伍的后面.过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人.（1）此．时．，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？（2）此．时．，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）.（江西省2006） 5．问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：1如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若AAND∠BON=60°，则BM=CN.NM2如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是OOMCD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BCBC∠BON=90°,则BM=CN.图1图2然后运用类比的思想提出了如下的命题：3如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是ECD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠NFENBON=108°，则BM=CN.AD任务要求OMADOM（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进BCBC行证明；（说明：选①做对的得4分，选图3图4②做对的得3分，选③做对的得5分）E（2）请你继续完成下面的探索：MN1如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、ADDE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度O时，结论BM=CN成立？（不要求证明）BC2如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，图5BM与CN相交于点O，当∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（江西省2006）（1）我选.证明：6．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.（2006年锦州市） 初三数学训练题（五）答案1．解：设A种品牌的衬衣有x件，B种品牌的衬衣有y件．xy300，依题意可得，30(120%)(x20)50y12880.x100，解得，y200.12．解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，9112则有：(62x)x36，即x3x20，（2分）29解方程，得x1，x2．（3分）12经检验，可知x1，x2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形121ABCD面积的．（4分）9（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，AMDCAMDA由矩形ABCD，可得∠CDA∠MAN90，因此有或（5分）ANDAANDCt3t6即①，或②．（6分）62t662t3312解①，得t；解②，得t（7分）25312312经检验，t或t都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，2525以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）3．探索（1）a；………………………………………………………………………（1分）（2）2a；………………………………………………………………………（2分）理由：连结AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a．………………………………………………………………………（4分）（3）6a；………………………………………………………………………（5分）发现7．………………………………………………………………………………（6分）应用拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m2）．……………………………（8分）3．解：（1）BM=FN．…………………………………………………………………（1分）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF． 又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN．∴BM=FN．…………………………………………………………（4分）（2）BM=FN仍然成立．…………………………………………………………（5分）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN．∴BM=FN．………………………………………………………（8分）4．解：（1）他继续在A窗口排队所花的时间为a42a8（分）…………………………………………3′44（2）由题意，得a42a6252.………………………………………6′46解得a>20.所以，a的取值范围为a>20.…………………………………9′5.（1）选命题①证明：在图1中，∵∠BON=60°，∴∠CBM+∠BCN=60°.……1′∵∠BCN+∠ACN=60°，∴∠CBM=∠ACN.……………2′又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°，∴△BCM≌△CAN.……………………………………………3′∴BM=CN.………………………………………………4′EEAANDNMNNADADMOOOMOMBCBCBCBC图1图2图3图5选命题②证明：在图2中，∵∠BON=90°，∴∠CBM+∠BCN=90°.∵∠BCN+∠DCN=90°，∴∠CBM=∠DCN.……………1′又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°，∴△BCM≌△CDN.………………………………………2′∴BM=CN.……………………………………………………3′选命题③证明：在图3中，∵∠BON=108°，∴∠CBM+∠BCN=108°…1′∵∠BCN+∠DCN=108°，∴∠CBM=∠DCN.……………2′又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°，∴△BCM≌△CDN.…………………………………………4′∴BM=CN.………………………………………………………5′(n2)180（2）①当∠BON=时，结论BM=CN成立.……………2′n②BM=CN成立.证明：如图5，连结BD、CE. 在△BCD和△CDE中，∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∴△BCD≌△CDE.∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD.……………1′∵∠OBC+∠OCB=108°，∠OCB+∠OCD=108°，∴∠MBC=∠NCD.又∵∠DBC=∠ECD=36°，∴∠DBM=∠ECN.…………2′∴△BDM≌△ECN.…………………………………3′说明：第（2）小题第②问只回答BM=CN成立，但未证明的，不．给．分．.6．(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.……1分证明：设AF与DC交点为G.∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，∴∠BCD=∠ACF.∴△ACF≌△BCD.∴AF=BD.……4分∴∠AFC=∠BDC.∵∠AFC+∠FGC=90°,∠FGC=DGA，∴∠BDC+∠DGA=90°.∴AF⊥BD.……7分∴AF=BD且AF⊥BD.(2)结论：AF=BD且AF⊥BD.图形不惟一，只要符合要求即可.画出图形得1分，写出结论得1分，此题共2分.如：①CD边在△ABC的内部时；②CF边在△ABC的内部时.