平面简谐波波函数61503

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1、平面简谐波的波函数61503本人精心整理的文档四、平面简谐波的波函数　　一、什么是波函数　　在波动中每一个质点都在进行振动对一个波的完整的描述应该是给出波动中任一质点的振动方程这种方程称为波动方程（或波函数）我们知道简谐波(余弦波或正弦波)是最基本的波特别是平面简谐波它的规律更为简单我们先讨论平面简谐波在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播时的波动方程二、平面简谐波的特点　　我们在上一知识点中知道平面简谐波传播时介质中各质点的振动频率相同对于在无吸收的均匀介质中传播的平面波各质点的振幅也相等因而介质中各质点的振动仅相位不同表现为相位沿波的传播方向依

2、次落后因此我们将重点讨论相位根据波阵面的定义我们知道在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位因而有相同的位移因此只要知道了任意一条波线上波的传播规律就可以知道整个平面波的传播规律　　设平面简谐波的周期为T波长为λ波速为u对于波线上的两点见下图所示若B点比A点距离波源要远ll称为A、B之间的波程就是波由A点到B点所经历的路程一个振动状态从A点传到B点需要一段时间Δt=l/u即A点的振动到达某一状态后要过Δt这么一段时间B点才到达这个状态也就是说B点的振动要比A点在时间上落后　　　　　　　　平面简谐波的波程和相位差　　由于A点和B点在进行同频率的

3、简谐振动按前面讨论过的两个同频率振动的相位差和时间差的关系我们可以得到A点和B点的相位差　　　　　　这表示B点距离波源比A点每远一个λ相位落后一个2π从上式我们容易判断在同一波线上的两点若它们的距离为整数个λ则它们的振动同相；若它们的距离为半整数个λ则它们的振动反相三、平面简谐波的波动方程　　下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程如下图所示设有一列平面简谐波沿x轴的正方向传播波速为u取任意一条波线为x轴设O为x轴的原点假定O点处(即x=0处)质点的振动方程为　　　　　　　　推导波动方程用图　　现在考察波线上任意一点P的振动设该点的坐标为

4、x如上所述P点和O点振动的振幅和频率相同而P点振动的相位比O点落后O点到P点的波程为x则P点的振动在时间上比O点落后故P点的振动为　　　　　　也可以通过相位差来进行推导则P点的振动在相位上比O点落后故P点的振动为　　　　　　不难验证以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述它们都表示的是波线上(坐标为x)的任一点处质点的振动方程这正是我们希望得到的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程四、波函数的讨论　　1、波的传播方向与波函数　　在上图中P点的坐标x为正值如果x为负值P点的相位应该比O点超前把x带入波函数中由于x是负值这表示P点的相位确实比O

5、点超前可见方程的形式不会因考察点的位置而改变　　在上面的讨论中我们设波是沿着x轴正向传播的这称为正行波若波逆着x轴传播(反行波)则图中的P点的相位应比O点超前我们规定波速u始终取正值(速率)因而波函数表达式中x前面的负号应改为正号因而简谐波的波动方程的一般形式(通式)为　　　　　　式中负号对应于正行波正号对应于反行波方程中的φ为原点初相　　2、波函数的其它形式　　利用关系式和可以将平面简谐波方程改写成多种形式：　　　　　　　　　　我们讨论平面简谐波的时候为了简单往往直接把波的传播的方向作为x轴的方向因而波动方程中x前面的符号就是负号如果再取原点振

6、动的位移到达正最大的时候作为计时起点因而原点初相为零于是波动方程化为比较简单的形式　　　　　　或　　　　　　这是波动方程常用的形式　　3、振动曲线与波形曲线　　为了弄清楚波动方程的物理意义我们作进一步的分析在波动方程中含有x和t两个自变量如果x给定(即考察该处的质点)那么位移y就只是t的周期函数这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移也就是该质点的振动方程方程的曲线就是该质点的振动曲线下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线如果波动方程中的t给定那么位移y将只是x的周期函数这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移波动中某一时

7、刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线因而t给定时方程就是该时刻的波形方程下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线无论是横波还是纵波它们的波形曲线在形式上没有区别不过横波的位移指的是横向位移表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移表现的是疏密相间的图形在一般情况下波动方程中的x和t都是变量这时波动方程具有它最完整的含义表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化每过一个周期T相位增加任一时刻各质点的相位随空间变化距离波源每远一个波长相位落后一个2π　　　　(a)x=0处质点的振动曲线(b)t=0

8、时波的波形曲线　　振动曲线和波形曲线　　还应该注意波动方程、振动方程和波形方程在形式上的明显区别以免引起概念上的混淆波动方程描述波动中任