xuehao-xingming-迭代法在电路求解中的应用

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1、迭代法在求解非线性电路中的应用姓名•王**学号•5************班级，p******摘要：本论文主要讨论数值分析法中的“牛顿法”和“井轭梯度法”在非线性电阻电路的应用。首先回顾数值分析法和非线性电阻电路，然后简要引入两种数值分析方法并给出牛顿法的C++程序实现，最后，讨论这两种方法在非线性电路中的应用。关键词：数值分析法，牛顿法，共轭梯度法，非线性电阻电路正文:教材《电路基础》第四章4.6“数值分析法”这一小节屮，冇简略提到用牛顿法和和共轭梯度法来解决非线性电附电路方程。书中有论述牛顿法在电路中的应用，却没有对共轭梯度法的应用做分析。所以我课

2、下查阅了一些资料，大致总结了这两种方法在电路求解上的应用。第一部分：牛顿法及其应用【算法思路】：如下图（1）牛顿法求实根®示图（1）牛顿法求解图示选择一个接近函数似）零点的初，计算相应的yuo）和切线斜率八初）（这里/表示函数导数）。然后我们计算穿过点（xQx/Uo））并II斜率为八X0）的直线和X轴的交点的X坐标，也就是求如卜*方程的解：X•广（X。）+广0。）—X。•广（X。）=0（1.1）我们将新求得的点的X坐标命名为X,,这样，按照迭代产生一个级数X,,。【迭代公式】：迭代公式如下:〜n:(1.2)所以，对于任意非线性电路方程f(x),诸如=c

3、os(x)-%3,/%)=e2x+x2等等，都可以用以上公式来计算得到一定精确度的X。【精度判定】：教材泰勒展开来证明了，如果f是连续的,并且待求的零点x是孤立的，那么在零点X周鬧存在一个区域，只要初始值X0位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果/(%坏为0,那么牛顿法将具冇平方收敛的性能.。所以，粗略的说,这意味着每迭代一次，运用卞顿法得到的结來的宥效数字将增加一倍。如下而的例1:求方程TlX^cosx—x3的根。W边求导，得.厂00=—sin(x)—3%2由于-1Scos(a)<1(对于所有x)，则-1Sx3$1，即-11，可知力'程的

4、根位于0和1之间。我们从xG=0.5开始。义10.5-=1.112141637097cos0.5-0.53-sinO.5—3.0.52x2X3=X4—^5=x6=，Ui)/’Oi)=0.909672693736=0.867263818209=0.865477135298=0.865474033111=0.865474033102我们可清晰地看出，每迭代一次，运用牛顿法得到的结果的有效数字将增加一倍。所以，对于精度要求精确到10_n的数掘，我们最多进行lg2n次运算就可以达到满足耍求。【程序实现】：由于牛顿法迭代公式中涉及到了非线性函数的求导，丼需要进行

5、多次迭代，计算较为复杂，所以，我们可以设计一个计算机程序来让计算机处理这一计算过程。代码(C++)如下：#include//include//include#definexx0.5#defmef(x)(cos(x)-(x)*(x)*(x))#defineff(x)(-sin(x)-3*(x)*(x))#defineprecision0.000000000001#definespsystemf’PAUSE”)intmain()doublex，tem;intn=0;tem=xx;x=tem-f(tem)

6、/ff(tem);while(fabs(x-tem)>precision){tem=x;x=tem-f(tem)/ff(tem);n++;}printf(HSolution:x=%.12f’’，x);printf(nTime:n=%d"，n);sp;return0;}对于不同的函数f(x)和不同的精度要求，J4需要修改define屮的f(x)，F(x)，xo,precision即口J。【举例应用】：用牛顿法求解图1.3所示电路的电压u2=x和电流i2,其屮卜0.673人，二极1管的电压一电流关系力：i2=(cos%—%3—+0.673)A。(其

7、中i2为二极管所在支路电流，u2为二极管)图1.3例4.6.1图解：由电路方程可得KCL方程is=ii+12将“=5^和i2=cosx_%3代入并整理，得到以x为变量的非线性电路方程f(x)=cosx-X对f(U2)求导，得dZ(u2)du2—sin(x)—3x2因此，中顿法的迭代公式为xk+l=xkCOSXk—Xksinxk—3xk2式中，上标表示迭代次数。取初始值x=0时的迭代结果为u2=x=0.86547403310161442000V解毕。程序运行结果如下：阁（2）牛顿法求解程序运行阁第二部分：共轭梯度法算法简【算法思路】：把工个性与最速下降法

8、（本文不讨论）结合。利用已知处的梯度构造一组共轭方向，并沿着这组方向来搜索，以至求出目标函数的