与差角公式与二倍角公式知识扫描

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1、和差角公式和二倍角公式知识扫描山东省济南市平阴第三中学（250402）李佃花两角和差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式既是进行化简、求值、证明等三角变换的重要依据，又是解决其他问题的重要工具。一、知识梳理1、的推导如图，角的始边为，交单位圆于点，终边交单位圆于点，角的始边，终边交单位圆于点，角的始边，终边交单位圆于点，由，得，。公式是本节和下节课所有公式的根源，应熟悉和掌握其推导过程。2、两角和差的正弦、余弦、正切公式的内在关系商数关系商数关系两点间距离公式、单位圆3、二倍角的正弦、余弦、正切公式在两角和差的正弦、余弦、正切公式中，令，即可得二倍角的正弦、余弦

2、、正切公式如下：（1）；（2）；（3）。4、公式应用注意的几点问题（1）掌握上表中公式的内在联系及推导线索，熟练掌握每个公式的结构特征，主要是函数名称和符号。（2）和差角公式可以看成是诱导公式的推广，而诱导公式是两角和差公式的特殊情况，比如：；当、中有一个为的整数倍时，使用诱导公式更加灵活、简便，此时不再用两角和（差）公式展开。（3）公式在时成立，否则是不成立的。当、和中有任何一个不存在时，就不能使用，应改用诱导公式或用其它方法来解；对于，和。（4）当和角公式中的两角、相等时，就变成了相应的倍角公式，所以在应用时一定要在理解、掌握公式的来龙去脉的基础上记忆、领

3、会公式，把握住公式的结构特征，弄清公式间的联系，不要生硬地记忆，以防出错。(5)注意公式的逆用和变形使用应熟悉公式的逆用和变用，公式的顺用是常见的，而逆用和变用往往容易被忽视。下面是几个公式的变形。（1）公式，应注意两种变形：和；（2）；；；；二、学法指导1、明确各公式的作用，深化对各公式的理解。三角恒等变形实质是对角及函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式。同角三角函数关系可实现函数名称的变化，而诱导公式及两角和、差的三角函数公式、倍角公式可实现角的形式的转化。三角变换时，必须做到：（1）弄清所需要的公式，分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各

4、个公式的相互联系和适用条件；（2）变换时需要知道式子中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化；（3）变换时要注意如下技巧：切割与弦互化、异名化同名、异角化同角或尽量减少名称和角度，尽量化为同次幂等。（4）在求值时，还要注意角、式子的拆、凑和常值的代换等。如：，，，，等。2、化简求值和三角恒等式证明的要求（1）求值时应做到：i能求值的要求出值；ii使三角函数的种数和项数尽量少、次数尽量低；iii尽量使分母不含有三角函数。(2)恒等式证明的基本思路根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”

5、化为“同”。对条件等式的证明题，条件是推证结论的依据，结论是变形条件的向导。三、特别提示1、形如的函数式，只需将分子、分母分别乘，应用二倍角正弦公式即可；2、注意倍角的相对性，如是的倍角等；3、在求角时，要注意确定角的范围。