第08课时：函数的奇偶性

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1、第08课时：函数的奇偶性(两课时)考纲要求：结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；会运用函数图像理解和研究函数的性质。考点提示：1、判断函数的奇偶性；2、函数奇偶性的简单应用；3、函数奇偶性与单调性的综合应用。命题趋势：函数奇偶性的判断及应用是高考考查的热点，多与函数单调性相结合在选择、填空中考查。（一）知识要点回顾：1．函数的奇偶性的定义；（1）对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数；（2）对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.想一想：函数奇偶性的定义域有什么特点？具有奇偶性的函数，其定义域关于原

2、点对称，也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称。2、函数奇偶性的判断：通常采用图像法或定义法判断函数的奇偶性.3．奇偶函数的性质：（1）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（2）若是奇函数且在处有定义，则；若f(x)是偶函数，则．（3）奇函数在原点两侧的单调性相同，偶函数在原点两侧的单调性相反。（二）学法指导：抓定义、想图像、用性质1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断

3、函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．4．设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．-6-5．注意数形结合思想的应用．（三）基础训练：见《先锋行动》考点一函数奇偶性的判断例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．（2）由得定义域为，∴，∵∴为偶函数（3）当时，，则，当时，，则，综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．（4）由f(x)+f(-x)=可知f(x)是奇函数.想一想：函数的奇偶性如何

4、？练习1判断下列函数的奇偶性，并说明理由;(1)(2)(3);(4).解答：（1）是非奇非偶函数，（2）既是奇函数又是偶函数，（3）是奇函数，（4）是偶函数。想一想：函数的奇偶性如何？考点二函数奇偶性的简单应用例2（1）（07年海南、宁夏，理14）设函数为奇函数，则a=;-6-解法一：利用定义由恒等式原理可解得a=-1解法二：利用f(1)+f(-1)=0可解得a=-1(2)已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式是。简解：利用f(x)=-f(-x)可得练习2已知f(x)是R上的奇函数，且当时，,求f(x)的解析式。答案：例3（1

5、）（2010年江苏，5）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。（2）（2010年课标全国卷，理8）设偶函数满足，则（）(A)(B)(C)(D)解：，选B命题意图：利用函数性质解不等式（3）（2009年全国卷一，理11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(D)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数解:与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期

6、的周期函数.，，即-6-是奇函数。故选D练习3（1）（2010山东，理4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=（）(A)3(B)1(C)-1(D)-3【答案】D（2）(2010年安徽，理4)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2，则f(3)-f(4）=()A.-1B.1C.-2D.2解析：f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-1,所以选A.（3）2008年福建，理4）函数，若f(a)=2，则的值为（）A．3B．0C

7、．D．解析：而故选B.考点三奇偶性与单调性的综合应用例4（1）（2008年全国，理9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．解析：由题意可得.当时;当时，所以不等式的解集是，故选D.草图如上。（2）（2009年辽宁，理9）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是（）（A）（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）-6-w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(

8、x

9、)∴得f(

10、2x－1

11、)＜f(),再根据f(x)的单调性得

12、2x－1

13、＜解得＜x＜【答案】A

14、练习4（1）（2010年宁夏中卫）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得的取值范围是（）A.B.C.D.解析：因为f(x)是偶函数且在上是减函数，且f(2)=f(-2)=0，可画示意图如下：由图可知的解集为，故选D.（2）（08年辽宁，理12