复变函数与积分变换12节

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1、第一章付立叶变换积分变换Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数；但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示；引进类似于Fourier级数的Fourier积分(周期趋于无穷时的极限形式)§1Fourier积分在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).t最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的

2、周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.----Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.利用Eular公式,可将其写为复数形式tcoswwww---+jeetneetnjntjntjntjn2sin,2ww==对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按

3、周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t).对非周期函数可视为以T为周期的函数当时的极限,即则定理:(付氏积分定理)设在满足条件(1)在任意有限区间上满足狄氏条件；(2)收敛，即绝对可积。则在的连续点有而在的间断点有注意：这里的广义积分均在主值意义下收敛。即可将上面的付氏积分公式写成三角形式为的偶函数为的奇函数而这是付氏积分公式三角形式这是付力叶正弦积分公式这是付力叶余弦积分公式例1求矩形脉冲函数的积分表达式。§2付立叶变换定义：在付氏积分公式

4、中，令则.称为的付氏变换，记为,称为F的象函数。称为的付氏逆变换，记为F称为的象原函数。和称为一个付氏变换对。付力叶正弦积分公式这是f(t)的付力叶正弦变换式这是F(w)的付力叶正弦逆变换式这是f(t)的付力叶余弦变换式这是F(w)的付力叶余弦逆变换式付力叶余弦积分公式解：F例1：设称为指数衰减函数，求其付氏变换及积分表达式。f(t)F由此可得一个含参变量的广义积分例2：求钟形脉冲函数的付氏变换及积分表达式。F解：如取所示积分路径由于为解析函数故而同理因此从而FF可得一个含参变量的广义积分求其正弦变换及余弦变换。例3解：2、单位

5、脉冲函数及其付氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原电流为0的电路中，某一瞬时进入一个单位电量的脉冲。现在要确定电路中的电流强度以表示该电路中的电荷函数，则而当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得则这表明在通常意义下的函数类中

6、，找不到一个函数用来表示上述电路中的电流强度。为确定上述电流强度须引进一个新的函数称为Dirac函数，简记为函数这是一个广义函数。不能用值对应关系确定。有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.定义：对任何一个无穷可微的函数，如果满足其中则称的弱极限为函数，记为按此定义有工程上，常将函数称为单位脉冲函数。并用长度为1的有向线段表示。线段的长度表示函数的积分值称为函数的强度.函数具有重要的性质:筛选性一般地对无

7、穷次可微函数有(*)函数按(*)可以方便的求出的付氏变换F可见单位脉冲函数与1构成一付氏变换对.而与构成一付氏变换对.注:这里将的付氏变换仍写成古典形式.但这里的广义积分应理解为.并不是普通意义下的积分值.因此,的付氏变换实际上是一种广义付氏变换.工程技术中许多重要的函数都不满足绝对可积性如:常数、符号函数、单位脉冲函数、正弦余弦函数等。然而它们的广义付氏变换是存在的，可以利用单位脉冲函数及其付氏变换求出它们的付氏变换。例4:证明单位阶跃函数的付氏变换为证明：则按付氏逆变换可得F故即因此与构成一付氏变换对，从而单位阶跃函数可写为

8、积分形式同理，当时，则F所以1与是一付氏变换对。同样和也构成一付氏变换对。F由此可得它们都在意义下成立例5:求的付氏变换解：Ftpp-w0w0Ow

9、F(w)

10、3、非周期函数的频谱F称为的频谱函数称为的振幅频谱，简称为频谱关于的图形称为频谱图例6:作矩形脉冲的频