湖南省十四校2018届高三第一次联考数学（理）试题含答案

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1、2018届高三·十四校联考第一次考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则的共轭复数是（）A．B．C．D．2.已知全集为，集合，，则（）A．B．C．D．3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“”“”“”“”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．4.若双曲线的焦距为，则等于（）A．或B．C.D．5.记为等差数列的前项和，若，，则等于（）A．B．C.D．6.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（）A．

2、B．C.D．7.已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则（）A．B．C.D．8.已知一个棱长为的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C.D．9.若，，，，则，，这三个数的大小关系正确的是（）A．B．C.D．10.函数的部分图象如图所示，已知，，且，则等于（）A．B．C.D．11.若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．12.如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连接，并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为，.则在下列命题中，正确命题的个数是（）

3、①若记直线，的斜率分别为、，则的大小是定值为；②的面积是定值；③线段、长度的平方和是定值；④设，则.A．个B．个C.个D．个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则．14.已知为常数，且，则的二项展开式中的常数项为．15.已知，满足约束条件，则的最大值是最小值的倍，则．16.已知数列满足：，.设是等差数列，数列是各项均为正整数的递增数列，若，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数.（Ⅰ）求函数的递增区间；（Ⅱ）在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，求的面积.18.某

4、百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：123456758810141517（Ⅰ）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（Ⅱ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取元购物券；抽中“二等奖”可领取元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们

5、是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.参考公式：，，.19.如图，在梯形中，，，，，四边形是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值.20.已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的、两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、.试探究与的关系，并证明你的结论.21.已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，）.（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做

6、，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数，满足，证明：.试卷答案一、选择题1-5:DBDAB6-10:ACDBC11、12：DA二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.【解析】（Ⅰ）函数的解析式可化为：.由，得函数的递增区间为.（Ⅱ）因为，即，所以，因为是三角形的内角，所以，又因为

7、，由正弦定理得，所以，所以，因为，，由余弦定理得.所以，，故的面积为.18.【解析】（Ⅰ）依题意：，，，，，，则关于的线性回归方程为.（Ⅱ）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：，，，，.所以，总金额的分布列如下表：03006009001200总金额的数学期望为元.19.【解析】（Ⅰ）依题意，在等腰梯形中，，，∵，∴即，∵，∴，而，∴.连接，∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴.（Ⅱ）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且.所以由平面几何易知，∵