ch7解线性方程组直接方法

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1、Ch7、解线性方程组的直接方法§1、引言对线性方程组(1)令，，则(1)可记为(2)求解的数值方法有如下两类：1、直接法2、迭代法①存贮量大；①存贮量小；②计算时间短；②计算时间长；③程序复杂；③程序简单；④适用于A为低阶矩。④适用于A为高阶稀疏矩阵。§2、Gauss消去法1、消元过程记为(3)若，令，用乘第一个方程后加到第个方程上，则(3)变为记为一般地，对若，令，类似地可消去从第到第8个方程中的，直至将方程化为上三角方程。记为2、回代过程3、矩阵的LU分解矩阵A的第一行乘后加到第行的变换，相当于

2、用矩阵左乘矩阵A一般地，第步所用变换对应于矩阵Gauss消去法可用矩阵描述如下：，即，记——上三角，——下三角，则——矩阵的LU分解。定理1：当方阵A的顺序主子式时，A可唯一地分解为单位下三角阵L与上三角阵U之积，即A=LU。8设，则对，即，只要经两次回代即可解出方程。§3、Gauss列主元消去法1、Gauss消去法中的称为主元，从理论上讲仅需即可，但从数值计算的角度来看，其绝对值越小，引起的舍入误差就越大，反之舍入误差就小。为了减小舍入误差，提高算法的数值稳定性，可在每步消元过程中选主元，具体有：

3、①总体选主元(每步系数矩阵中绝对值最大者)②按列选主元(在第k步中，从中选绝对值最大者)2、计算过程只须在Gauss消去法中加入选主元过程。在中选出绝对值最大者，然后放在(k,k)位置（交换行）。§4、追赶法与Cholesky分解1、追赶法8对三对角方程首先由第一个方程解出，令，则，代入第二个方程得，即，令，有，类似地可推出下列公式其中，将代入最后一个方程，令，则，代入即可依次求出。上述求解过程可分为两个部分：①依次确定，称之为追的过程；②依相反次序确定，称之为赶的过程。即2、对称正定阵的分解8定理

4、2：设A对称，且A的各阶顺序主子式均不为零，则A可唯一地分解为，其中L为单位下三角阵，D为对角阵。定理3：设A对称正定，则A可唯一地分解为，其中L为对角元大于零的下三角阵。证：由定理2，，又A正定，有中的，故其中为下三角。（Cholesky分解）设A对称正定，则可化为，即，经回代即可解。计算机解法：①A为一般方阵时，用LU分解（Gauss消去法）；②A对称正定时，用Cholesky分解。§5、向量和矩阵的范数一、向量的范数1、定义：设或，为定义在上的一个实值函数，若满足①非负性：，当且仅当；②齐次性

5、：对，有；③三角不等式：对，有；则称为上的一个向量范数。2、常用向量范数对，有8①范数；②1-范数；③2-范数；④p-范数定理4：中的一切范数都是等价的，即对任意两种范数，总有正数m和M，使3、向量序列的收敛性定义：设为中的向量序列，，并记，，若，则称收敛于，记为定理5：，为任一范数。二、矩阵的范数1、定义：若矩阵的某个实值函数满足①；②；③；④相容性；则称为上的一个矩阵范数。2、常用矩阵范数①行范数；②列范数③2-范数；④F-范数3、谱半径定义：设A的特征值为，称为A的谱半径。定理6：A的谱半径不

6、超过A的范数，即。证：设为A的任一特征值，为相应的特征向量，即，则相容性，故，即。定理7：若，则可逆，且。8证：若不可逆，即，有非零解亦即有，使，，，矛盾，故可逆。，得§6、误差分析和矩阵的条件数1、右端向量误差对解的影响设的右端向量有误差，相应的解为，则，又，故2、系数矩阵误差对解的影响设的系数矩阵有误差，相应的解为，则，由定理7，若，则可逆，，且，故3、矩阵的条件数定义：设A非奇异，则称为的条件数。①；②；③；④若A为正交阵，则。常用条件数：①；②4、病态方程组条件数刻画了方程组的解对原始数据误

7、差的敏感程度。当条件数很大时，或的扰动所引起的的误差可能很大，此时称为病态的或坏条件的，对应的方程组称为病态方程组，反之称为良态的或好条件的。8例、，8