2017年苏州市中考数学《例说辅助圆的作用》复习指导

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1、例说辅助圆的作用有些问题乍看与圆没有什么联系，解答时添加辅助圆却能使问题方便获解.一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角例1(2014年河南)已知在正方形中，，若点满足，且，求点到的距离.解PD=1，，是以点为圆心以1为半径的⊙的切线，点为切点，，,中，.作于，则即为点到的距离.第一种情况:如图1，当与正方形的边的交点为时.设，,则，.,.即,解得,在中，,第二种情况:如图2，当与正方形的边的交点为时.设，,则，,,.即,解得,容易得到，即..二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角例2(2014年广州)已知平面直角坐

2、标系中两定点，，抛物线过点，，顶点为，点为抛线上一点，当为钝角时，求的取值范围.解把，分别代入，得，解得∴抛物线的解析式为如图3，设中点为，由、两点坐标得点坐标为∵抛物线与轴交于点，连结，，则在中∴点在为直径的⊙上，这时根据抛物线的对称性可知，抛物线上还存在点关于直线的对称点，也在以为直径的⊙上，这时∵点在抛物线上，∴当为钝角时，的取值范围是，或.三、辅助圆为待解直角三角形的旁切圆例3(2016年徐州)如图4，正方形的边长为，点、分别在边、上，若，则的周长等于解如图4，以点为圆心以正方形的边为半径画圆，则边和与圆分

3、别相切于点和.作圆的切线，交边于，和圆相切于点，连结、,则，又同理可得即而∵射线和在射线的同侧，∴和重合∴点和重合∴与重合∴圆是的旁切圆∴的周长等于.四、所求线段作为辅助回的弦或者直径例4(2014年南通)矩形中，，，为上一点，，是上一动点，直线与直线交于点，，求线段的长.解如图5在中取中点，作，垂足为，则作的外接圆，且与交于，两点(与距离小于半径).而∴在直角梯形中，由于和都与垂直，且点，都在线段上，所以，都符合题意.在中，得在中，得故的长度为或例5(2014年济南)如图6，抛物线过轴上点，顶点为，对称轴与轴相交

4、于点，直线与轴相交于点，点为线段上的动点，为直角，边与相交于点.设，试探究:为何值时线段的长度最小，最小长度是多少.解由抛物线的解析式得，顶点的坐标为，.是对称轴，是的中点，是的中点，.如图6，以为直径作⊙，当⊙与轴相切时的值最小(此时点是切点)，否则当⊙与相离时就成了锐角不合题意;当⊙与轴相交时，有为直角但不是最小.由，，得.连结，则，，即亦即.即⊙的半径为，即时的长度最小，的最小值为.由上述分析可见，墉助圆具有整合题中信息，提高解题效率的作用，如果不作辅助圆，有些问题利用其他方法可能很难奏效，同学们必须重视这一

5、方法的运用.