二次函数及几何图形结合题及答案

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1、1.如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令，得解得令，得∴ABC……………………3分（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE=∴P∵点P在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去）

2、∴PE=……………………………………………………………………………5分∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=………………………………6分(3)．假设存在∵PAB=BAC=∴PAACGMCByPA∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=………8分设M点的横坐标为，则M①点M在轴左侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时，有=∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）………9分6(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M……………………………………………………………

3、…………10分②点M在轴右侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时有=GMCByPA∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M………………………11分(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M………………………………12分∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，，…………………………………13分2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过

4、点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.6解：（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）…………………1分∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)∴…………………………………………………2分解得：b=-2c=-3…………………………………………………3分（2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)

5、∴直线AB的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数∴设点E(t，t+1),则F（t，）………………………5分∴EF=………………………………………6分　　=∴当时，EF的最大值=∴点E的坐标为（，）………………………………7分（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）S　=　S　+　S=２６题备用图=　………………………………………………10分②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)则有：解得:,∴,　ⅱ）过点F

6、作b⊥EF交抛物线于，设（n，）则有：　　解得：，（与点F重合，舍去）∴综上所述：所有点P的坐标：，（.能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．……………………………………13分63.如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，－2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出

7、点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.（1）∵的顶点为C（1，－2），∴，．……………2分（2）设直线PE对应的函数关系式为由题意，四边形ACBD是菱形.故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．………3分由P(0，－1)，M（1，0），得．从而，…5分设E(，)，代入，得．解之得，，根据题意，得点E(3，2)…………………………………7分（3）假设存在这样的点F，可设F(，)．…………………………………8分过点F作FG⊥轴，垂足为点G.在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=9

8、0°，∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.……………………………………9分∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．解得，，根据题意，得F(1，－2)．故点F(1，－2)即为所求．．64如图，已知抛物线的顶点坐标为Q