二次函数与几何图形结合题及问题详解

二次函数与几何图形结合题及问题详解

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1、标准文档1.如图,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;解:(1)令,得解得令,得∴ABC……………………3分(2)∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB,∴PAB=过点P作PE轴于E,则APE为等腰直角三角形令OE=,则PE=∴P∵点P在抛物线上∴解得,(不合题意,舍去)∴PE=……………………………………………………………………………5分∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=…

2、……………………………6分2.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线经过A,B两点,抛物线的顶点为D.(1)求b,c的值;(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下:①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)

3、由已知得:A(-1,0)B(4,5)…………………1分∵二次函数的图像经过点A(-1,0)B(4,5)∴…………………………………………………2分解得:b=-2c=-3…………………………………………………3分(2)如26题图:∵直线AB经过点A(-1,0)B(4,5)∴直线AB的解析式为:y=x+1……………………………………4分∵二次函数∴设点E(t,t+1),则F(t,)………………………5分实用大全标准文档∴EF=………………………………………6分  =∴当时,EF的最大值=∴点E的坐标为(,)………

4、………………………7分(3)①如26题图:顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,-4)S = S + S=26题备用图= ………………………………………………10分②如26题备用图:ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)则有:解得:,∴, ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于,设(n,)则有:  解得:,(与点F重合,舍去)∴综上所述:所有点P的坐标:,(.能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.……………………………………13分3.如图,已知二次函数的

5、图象与轴交于A、B两点,与轴交于点P,顶点为C(1,-2).(1)求此函数的关系式;(2)作点C关于轴的对称点D,顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E,使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形,求点E的坐标;(1)∵的顶点为C(1,-2),∴,.……………2分(2)设直线PE对应的函数关系式为实用大全标准文档由题意,四边形ACBD是菱形.故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M.………3分由P(0,-1),M(1,0),得.从而,…5分设E(,),代入,得.解之得,,根据题意,得点E(3,2)

6、…………………………………7分.4如图,已知抛物线的顶点坐标为Q,且与轴交于点C,与轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥轴,交AC于点D.(1)求该抛物线的函数关系式;(2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;(3)在问题(2)的结论下,若点E在轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1)∴设将C(0,3)代入上式,

7、得∴,即…(3分)(2)分两种情况:①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0,得解之得,∵点A在点B的右边,∴B(1,0),A(3,0)∴P1(1,0)(5分)②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)∵OA=OC,∠AOC=,∴∠OAD2=当∠D2AP2=时,∠OAP2=,∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2∥轴,∴P2D2⊥AO,∴P2、D2关于轴对称设直线AC的函数关系式为实用大全标准文档将A(3,0),C(0,3)代入上式得,∴∴……………(7分)∵D2在上,P2在上,∴设D2(,),P

8、2(,)∴()+()=0,∴,(舍)∴当=2时,==-1∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)∴P点坐标为P1(1,0),P2(2,-1)…………………………………………………(9分)(3)解:由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形……………………(10分)当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时

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