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时间:2018-11-04
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1、二次函数与几何图形综合题类型1 二次函数与相似三角形的存在性问题1.(2015·昆明西山区一模)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)P为线段BC上的一个动点,过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E,设P点横坐标为m,PE长度为y,请写出y与m的函数关系式,并求出PE的最大值;(3)D为抛物线上一动点,是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似?若存在,试求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2013·曲靖)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,
2、B两点,过A,B两点的抛物线为y=-x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积;(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求出D点坐标;若不存在,说明理由.3.(2015·襄阳)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点D是边OA的中点,连接CD,点E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C,E两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P从点C出发,沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒.过点P作
3、PF⊥CD于点F.当t为何值时,以点P,F,D为顶点的三角形与△COD相似?(3)点M为直线AB上一动点,点N为抛物线上一动点,是否存在点M,N,使得以点M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.类型2 二次函数与平行四边形的存在性问题1.(2014·曲靖)如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,D是抛物线顶点,E是对称轴与x轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)F是抛物线对称轴上一点,且tan∠AFE=,求点O到直线AF的距离;(3)点P是x轴上的一个动点,过P作
4、PQ∥OF交抛物线于点Q,是否存在以点O,F,P,Q为顶点的平行四边形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.2.(2013·昆明)如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点D的坐标;(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以点A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2015·昆明西山区二模)如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(A
5、点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标;(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.类型3 二次函数与直角三角形的存在性问题1.(2015·云南)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n(k≠0)经过B、C两点,已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.(1)
6、分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式);(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2015·自贡)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求线段BC所在直线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出此点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.3.(
7、2015·益阳)已知抛物线E1:y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点A′,B′.(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;(2)如图,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′
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