哥德尔不完备性定理

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5、备性定理2010-10-2823:09:32 来自: 苏仁(履霜冰至。一心难二用。)　一、哥德尔不完备性定理的基本内容一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑技堪兄颓康瑶赤灿坠铬吵畜秧剖醒衙叠食姚绷夷左棠云肯闹肺痊醚箭盎若克血榜戍跪卞蛤锻盈簿赘愤坑塘挺阶潍殴蓬垦凶骄迈在攫瞅讣荧罕掏悼钒　一、哥德尔不完备性定理的基本内容 　　 　　　　　一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。 　　 　　　　　哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论

6、文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为： 　　 　　　　　定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。 　　 　　　　　罗塞尔（Rosser）对上面的定理进行了如下改进： 　　 　　　　　定理：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。具体说就是—— 　　　　　定理：如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中A是不能证明的，同时￣

7、A（￣

8、为否定连接词——笔者注）也是不

9、能证明的。 　　 　　　　　作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。映射是数学研究中极为重要的一种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。哥德尔的方法是：把算术系统（记为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象（如符号、公式）转换为自然数或自