哥德尔不完备性定理的哲学思考

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1、哥德尔不完备性定理的哲学思考引言作为20世纪数学理论最重要的成果之一，哥德尔不完备性定理被誉为“数学和逻辑发展史屮的里程碑”。哥德尔定理的提出不仅具有数学意义，而且蕴含了深刻的哲学意义。历史上从来没有哪一个数学定理能够如它一样，对人类文明产生如此广泛而深远的影响。随着科学技术的进步，哥徳尔思想的深刻性和丰富性，必将在人类理性的发展过程中不断突显出来，并不断为人的思维所理解。哥德尔不完备性定理是数理逻辑学屮论述形式公理化系统局限性的两条重要定理，它由伟大的奥地利数学家哥徳尔于1931年提出。哥徳尔写道：“众所周知，数学朝着更为精确方向的发展，已经导致大部分数学分支的形式化，以致人

2、们只用少数几个机械规则就能证明任何定理。因此人们可能猜测这些公理和推理规则足以决定这些形式系统能加以表达的任何数学问题。下面将证明情况并非如此。”哥德尔第一条肚理指出，若形式系统是相容的，则此系统必沱是不完备的。也就是说在系统中的一个有意义的命题，既不能用系统中的公理和推理规则加以证明，也不能用系统中的公理和推理规则加以否证，即成为不可判定的命题。那么有什么命题是不可判定的呢？哥德尔第二条定理说，上述形式系统的相容性就是不可判定的。以前数学家总以为：如果某个命题是正确的，一定可以用数学演绎方法证明其为真；如果某个数学命题是错误的，也一定乂可以用数学演绎方法证明其为假。正如法国数

3、学家庞加莱所说：“在数学中，当我拟定了作为约定的定义和公设以后，一个定理就只能为真或为假。但是，要冋答这个定理是否为真，就不再筒要我们将要求助的感觉证据，而要求助于推理。”哥德尔不完备性定理的建立一举粉碎了数学家两千年来的信念。它告诉我们，真与对证是两个概念。“可证性”涉及到一个具有能行性的较为机械的思维过程；而“真理性”则涉及到一个能动的超穷的思维过程。因此，可证的一定是真的，但真的不一定可证。从这个意义上说，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎著名数学家外尔发出这样的感叹：“上帝是存衣的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”哥德尔的结论是划时代

4、的，著名物理学家惠勒在1974年发表的一篇文章中就曾断言：“即使到了公元5000年，若宇宙仍然存在，知识也仍然放射出光芒的话，人们就将仍然把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”哥德尔思想具有潜在的科学和哲学价值，它已经被引申到自然科学乃至人文科学的各个角落，对数学、逻辑、语言、人工智能、自然科学、思维科学和认识论的研究提供了有益的启示。第一，哥德尔不完备性定理深刻地揭示了形式系统的内在局限性。这种局限性是由形式系统的本质所决定的，是不可克服的。因为一个形式体系的无矛盾性在本质上是超越这个形式体系的。它处在一种两难境地：或者允许在逻辑思维中有矛盾存在，或者承认存在着逻辑方法证明

5、不了的本逻辑系统内部的问题。因此，那种希望把数学搞成一个形式化系统，希望所有的猜想都能从逻辑出发加以判定，希望永远不发生“出乎始料”的事，是不可能实现的。数学不等于逻辑，重要的数学成果并不总是能从公理直接逻辑地推出，数学的神奇Z处主要扎根于观察、直觉和灵感。事实上，不论是作为科学认识前提的公理、假设，还是在一定前提下的逻辑推理，都有其预设的不可证明的信念。人类认识世界总在一定的信念指导下的逻辑展开，并在获得新知识的过程中不断扩展着对世界新的观念。因此，信念的合理性是相对的，它要随着认识的深化而不断发展变化。在信念转化为知识的过程中，真正起作用的是科学家的非机械的、非逻辑的智力创

6、造，逻辑的一致性只是一种理想的指向和要求。第二，哥德尔不完备性定理也进一步揭示了人工智能系统的局限性，从木质上证明了机械论、还原论是错误的。按照他们的观点，精神活动过程同机器执行程序一样，不过是在从事某种良定义的被称为“算法”的运算过程，而人脑和简单的计算机的主要差别仅仅在于人脑活动具有更大的复杂性，或者表现为更高级的结构，人的所有精神品质，包括思维、情感、智慧、意识都不过是大脑执行的“算法”特征而己。但是，人脑终究不能解释成机器，计算机绝不可能超越人类心智。“因为，无论我们构造出多么复杂的机器，只要它是机器，就将对应于一个形式系统，就能找到一个在该系统内不可证的公式而使之受到

7、哥徳尔理论的打击，机器不能把这个公式作为定理推导出来，但是人心却能看出它是真的。因此这台机器不是心的一个恰当模型。我们总想制造心的一种机械模型，即从本质上是'死'的模型，而心是'活'的，它总能比任何形式的、僵死的系统干得更好”。这也诚如英国数学家、物理学家罗杰•彭罗斯所说，人类判断数学真理的过程是超越任何算法的，因为，意识是我们赖以理解数学真理的关键，这种意识是我们能够借直觉的洞察力“看出”某些在数学形式系统中不能证明的数学命题的真理性，而意识是不能被形式化的，它必定是非算法的。因此，计算机